数下二重积分的计算.pptVIP

第二节二重积分的计算一、利用直角坐标系计算二重积分三、利用极坐标系计算二重积分二、利用积分域和被积函数的对称性计算二重积分

先将二重积分化为二次积分，然后先后计算两次定积分求得二重积分的值.

如果积分区域D可表示为：其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分

1、x－型区域则D称为x－型区域.

01应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,02得

2、y－型区域则D称为y－型区域.其中函数、在区间上连续.如果积分区域D可表示为：

y－型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.x－型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.

3、其他情形如果积分区域D可表示为x－型区域又可表示为y－型区域，且f(x,y)在D上连续，则有：采用哪一种次序积分就取决于被积函数的结构.

如果积分区域D不是x－型区域也不是y－型区域，可用平行坐标轴的直线段分割，把D分割为若干个两类标准区域，在每个标准区域上计算二重积分，再根据重积分对区域可加性，在各个标准区域上的积分之和就是D上的二重积分.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.

解画出草图并将区域写成不等式形式：①求曲线的交点：计算：

积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，且区域的划分要尽量地简单.化二重积分为二次积分的关键是：确定二次积分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由区域D的几何形状确定的，因此计算二重积分应先画出积分区域D的图形.计算二重积分的几点说明：第一次积分的上、下限是函数或常数，而第二次积分中的上、下限一定是常数，且下限要小于上限.

0403添加标题②如图添加标题③0201添加标题解添加标题①

01积分区域如图解

积分区域如图解

01单击此处添加大标题内容解

01单击此处添加大标题内容解

例11解先去掉绝对值符号，如图

二、利用积分域和被积函数的对称性计算二重积分

A

三、利用极坐标系计算二重积分

区域特征如图1、极点O在D的外部二重积分化为二次积分的公式（１）

区域特征如图

二重积分化为二次积分的公式（２）2、极点O在D的边界上区域特征如图

3、极点O在D的内部二重积分化为二次积分的公式（３）极坐标系下区域的面积区域特征如图

法二:积分区域关于x轴对称,

01单击此处添加大标题内容解

解

解

解

解

解

四、小结［x－型］二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）（在积分中注意使用对称性）［y－型］

二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）

思考题PART1

思考题解答PART1

思考题PART1

思考题解答PART1

练习题PART1

练习题答案PART1

练习题PART1

练习题答案PART1