新高考数学二轮复习核心专题讲练第4讲 抛物线(原卷版）.docVIP

第4讲抛物线

目录

第一部分：知识强化

第二部分：重难点题型突破

突破一：抛物线定义

突破二：抛物线标准方程

突破三：抛物线弦长

突破四：抛物线中点弦

突破五：抛物线上点到定点（定直线）最值

突破六：抛物线中定点，定值问题

突破七：抛物线中定直线问题

第三部分：冲刺重难点特训

第一部分：知识强化

1、抛物线的定义

（1）抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．

（2）抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离).

2、抛物线的简单几何性质

标准方程

（）

（）

（）

（）

图形

范围

，

，

，

，

对称轴

轴

轴

轴

轴

焦点坐标

准线方程

顶点坐标

离心率

通径长

3、直线与抛物线的位置关系

设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程

(1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点;

当时,直线与抛物线相切,有一个切点;

当时,直线与抛物线相离,没有公共点.

(2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.

4、直线和抛物线

（1）抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为.

（2）抛物线的焦点弦

过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则

①，；②；③.

说明：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）

（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；

（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；

（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；

（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.

第二部分：重难点题型突破

突破一：抛物线定义

1．（2022·福建·莆田第六中学高二阶段练习）已知点是抛物线上的动点，点A的坐标为，则点到点A的距离与到轴的距离之和的最小值为（????）

A．13 B．12 C．11 D．

2．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，为弦的中点，为上一点，则的最小值为（????）

A．4 B．5 C．6 D．7

3．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））已知抛物线的焦点为为该抛物线上一点，且（点为坐标原点），则（????）

A．2 B．3 C．4 D．8

4．（2022·广西·高二阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为（????）

A．12 B．10 C．8 D．6

5．（2022·湖南·湘府中学高二阶段练习）设F为抛物线的焦点，点M在C上，点N在准线l上，满足，，则（）

A． B． C．2 D．

6．（2022·四川·南江中学高三阶段练习（理））已知抛物线C：的焦点为F，点N是抛物线C的对称轴与它的准线的交点，点M是抛物线上的任意一点，则的最大值为_____________．

7．（2022·四川·树德中学高二期中（理））已知M为抛物线上一点，过抛物线C的焦点F作直线的垂线，垂足为N，则的最小值为______．

8．（2022·河南·郑州外国语学校高二期中）若点满足方程，则点P的轨迹是______.（填圆锥曲线的类型，填方程不给分）

突破二：抛物线标准方程

1．（2022·云南·玉溪市民族中学模拟预测（文））已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C的准线l上，线段与y轴交于点A，与抛物线C交于点B，若，则（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2022·全国·高三专题练习）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（）

A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x

C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x

3．（2022·全国·模拟预测（文））已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线上且（0为坐标原点），过点M且与抛物线相切的直线与y轴相交于点N，若，则抛物线的方程为（????）

A． B． C． D．

4．（2022·北京市第二十二中学高二期中）以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（????）

A． B． C．或 D．或

5．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知抛物线的焦点是，是的准线上一点，线段与交于点，与轴交于点，且，（为原点），则的方程为___________.

6．（2022·全国·高二课时练习）设抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，点在抛物线上，，若以线段为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点，试写出一个满足题意的抛物线的方程为______．

7．（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线过点，则其准线方程为___________.

突破三：