考点36 导数与不等式零点（原卷版）.docx

考点36导数与不等式零点

一．利用导数研究函数零点或方程根的方法

1.通过最值(极值)判断零点个数的方法

借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围．

2.数形结合法求解零点

对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围．

3.构造函数法研究函数零点

①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解．

②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．

二．利用导数证明不等式的方法

1.直接将不等式转化成某个函数最值问题．

2.将待证不等式转化为两个函数的最值进行比较证明．

3.若所证函数不等式通过移项后构成新函数的最值易求，可直接通过移项构造函数证明．

三．构造函数法证明不等式步骤如下：

①作辅助函数h(x)，一般取不等号两端的函数之差或之商为辅助函数；

②对h(x)求导，并确定h′(x)在区间上的符号；

③判断h(x)的单调性

④求出h(x)在所给区间上的极值；

⑤根据函数单调性或极值的符号证明所需证明的不等式．

四．不等式在某个区间上恒成立(存在性成立)问题的转化途径

(1)f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a；存在x使f(x)≥a成立?f(x)max≥a.

(2)f(x)≤b恒成立?f(x)max≤b，存在x使f(x)≤b成立?f(x)min≤b.

(3)f(x)＞g(x)恒成立eq\o(,\s\up13(F（x）＝f（x）－g（x）))F(x)min＞0.

(4)①任意x1∈M，任意x2∈N，f(x1)＞g(x2)?f(x1)min＞g(x2)max；

②任意x1∈M，存在x2∈N，f(x1)＞g(x2)?f(x1)min＞g(x2)min；

③存在x1∈M，存在x2∈N，f(x1)＞g(x2)?f(x1)max＞g(x2)min；

④存在x1∈M，任意x2∈N，f(x1)＞g(x2)?f(x1)max＞g(x2)max.

考点一导数与零点

【例1】（2022·浙江·高三专题练习）已知函数．

（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）当时，证明：函数无零点．

【变式训练】

1．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数存在三个不同的零点，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数存在两个零点，则正数的取值范围是（）

A． B． C． D．

3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为.

（1）当时，求证：；

（2）若只有一个零点，求m的取值范围.

考点二导数与不等式

【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象在原点处的切线方程为.

（1）求函数的解析式；

（2）证明：.

【变式训练】．（2022·浙江·高三专题练习）证明以下不等式：

（1）；（2）；（3）.

考点三导数与恒成立

【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数.

（1）求函数的极值和零点个数；

（2）若恒成立，求实数的取值范围.

【变式训练】

1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.

（1）若，证明：；

（2）若恒成立，求a的取值范围.

2．（2021·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知，．

（1）求的单调区间；

（2）若时，恒成立，求m的取值范围．

3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若恒成立，求实数a的值．

1．（2022·全国·高三专题练习）若函数f（x）=ex（x2?2x+1?a）?x恒有2个零点，则a的取值范围是（）

A． B．（??，1）

C． D．

2．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

3．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

4．（2022·全国·高三专题练习）已知，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（）

A． B． C． D．

5．（2022·全国·高三专题练习）若函数恰有个零点，则实数的取值范围是________.

6．（2021·江苏省南菁高级中学高三阶段练习）关于x的不等式有且仅有两个整数解，则正数a的取值范围是_______．

7．（2021·广东·华南师大附中模拟预测）当时，不等式成立，则实数的取值范围是___________.

8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函