2025高考数学专项讲义第11讲利用导数研究双变量问题(学生版+解析).docxVIP

第11讲利用导数研究双变量问题

（核心考点精讲精练）

命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分

【命题预测】题型分析双变量问题运算量大，综合性强，解决起来需要很强的技巧性，解题总的思想方法是化双变量为单变量，然后利用函数的单调性、最值等解决．

知识讲解

破解双参数不等式的方法:

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式:

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值;

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果

考点一、利用导数解决函数中的双变量问题

1．（2024·天津·高考真题）设函数．

(1)求图象上点处的切线方程；

(2)若在时恒成立，求的值；

(3)若，证明．

2．（2022·北京·高考真题）已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)设，讨论函数在上的单调性；

(3)证明：对任意的，有．

3．（2021·全国·高考真题）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.

1．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数，其中．

(1)若在上单调递增，求的取值范围；

(2)当时，若且，比较与的大小，并说明理由

2．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）已知函数，其中.

(1)讨论的单调性；

(2)若，证明：.

3．（23-24高三下·北京·开学考试）已知.

(1)若，求在处的切线方程；

(2)设，求的单调区间；

(3)求证：当时，.

4．（22-23高三下·四川成都·开学考试）已知函数，．

(1)求证：存在唯一零点；

(2)设，若存在，使得，求证：．

5．（23-24高三上·江西·阶段练习）已知函数.

(1)当时，存在，使得，求M的最大值；

(2)已知m，n是的两个零点，记为的导函数，若，且，证明：.

1．（2023·甘肃定西·模拟预测）已知函数．

(1)若a＝1，求函数的单调区间；

(2)若函数有两个极值点，且，求证：．

2．（2024·四川德阳·二模）已知函数，

(1)当时，讨论的单调性；

(2)若函数有两个极值点，求的最小值.

3．（2023·福建龙岩·模拟预测）设函数.

(1)求的极值；

(2)已知，有最小值，求的取值范围.

4．（2024·河南商丘·模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数．

(1)求曲线在点处的切线的方程，并判断是否经过一个定点；

(2)若，满足，且，求的取值范围．

5．（2022·四川泸州·一模）已知函数的图像在处的切线与直线平行．

(1)求函数的单调区间；

(2)若，且时，，求实数m的取值范围．

6．（2023·河南郑州·三模）已知函数，．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数有两个极值点，，且，求证：．

7．（2023·福建龙岩·二模）已知函数，．

(1)若满足，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线；

(2)若，且，证明：．

8．（23-24高三上·天津宁河·期末）已知函数，．

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)求的单调区间；

(3)设是函数的两个极值点，证明：．

9．（2024·河北保定·二模）已知函数为其导函数．

(1)若恒成立，求的取值范围；

(2)若存在两个不同的正数，使得，证明：．

10．（2023·广西·模拟预测）已知函数．

(1)若，求在处的切线方程；

(2)若有两个不同零点，证明：．

11．（2023·全国·模拟预测）已知函数，．

(1)讨论的单调性；

(2)若，当时，证明：．

12．（2023·海南·模拟预测）已知函数在上单调递增.

(1)求的取值范围；

(2)若存在正数满足（为的导函数），求证：.

13．（2024高三下·全国·专题练习）设是函数的一个极值点．

(1)求与的关系式（用表示），并求的单调区间；

(2)设，．若存在，，使得，求实数的取值范围．

14．（2024·浙江绍兴·三模）若函数有且仅有一个极值点，函数有且仅有一个极值点，且，则称与具有性质．

(1)函数与是否具有性质？并说明理由．

(2)已知函数与具有性质．

（i）求的取值范围；

（ii）证明：．

15．（2023·全国·模拟预测）已知函数.

(1)设函数，若恒成立，求的最小值；

(2)若方程有两个不相等的实根、，求证：.

1．（重庆·高考真题）设函数，.

（1）求导数，并证明有两个不同的极值点?；

（2）若不等式成立，求的取值范围.

2．（湖南·高考真题）设函数

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个极值点和，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

已知函数，的导函数是．对任意两个不相等的正数、，证明：

(1)当时，；

(2)当时，

第11讲利用导数研究双变量