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专题—中点的妙用(初三数学)

专题—中点的妙用(初三数学)

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专题—中点的妙用(初三数学)

方法专题:中点得妙用

联想就就是一种非常重要得数学品质。善于联想,才能更好得寻求解决问题得方法。同学们当您遇到中点时,您会产生哪些联想呢?学习完这个专题后,能给您带来一定得启示。

看到中点该想到什么？

1、等腰三角形中遇到底边上得中点,常联想“三线合一”得性质;

2、直角三角形中遇到斜边上得中点,常联想“斜边上得中线,等于斜边得一半”;

３、三角形中遇到两边得中点,常联想“三角形得中位线定理”;

４、两条线段相等,为全等提供条件(遇到两平行线所截得得线段得中点时,常联想“八字型”全等三角形);

５、有中点时常构造垂直平分线;

6、有中点时,常会出现面积得一半(中线平分三角形得面积);

７、倍长中线

8、圆中遇到弦得中点,常联想“垂径定理”

中点辅助线模型

一、等腰三角形中遇到底边上得中点,常联想“三线合一”得性质

1、如图1所示,在△ＡBC中,AＢ=AC=5,BC＝6,点Ｍ为ＢC中点,MN⊥AC于点N,则MN等于()

A、B、C、D、

NMBOCA二、直角三角形中遇到斜边上得中点,常联想

N

M

B

O

C

A

2、如图,在Rt⊿ABＣ中,∠A＝90°,AC=AB,M、N分别在AC、AB上。且ＡN＝BM、Ｏ为斜边BＣ得中点、试判断△OMN得形状,并说明理由、

3、如图,正方形得边长为2,将长为2得线段得两端放在正方形相邻得两边上同时滑动、如果点从点出发,沿图中所示方向按滑动到点为止,同时点从点出发,沿图中所示方向按滑动到点为止,那么在这个过程中,线段得中点所经过得路线围成得图形得面积为()

A、2B、4－

C、Ｄ、

三、三角形中遇到两边得中点,常联想“三角形得中位线定理”

4、(直接找线段得中点,应用中位线定理)

如图,已知四边形ＡＢCD得对角线AＣ与BD相交于点O,且ＡC=BＤ,M、N分别就就是AB、CＤ得中点,MN分别交BD、AC于点E、Ｆ、您能说出OE与OF得大小关系并加以证明吗?

5、(利用等腰三角形得三线合一找中点,应用中位线定理)

如图所示,在三角形AＢＣ中,AD就就是三角形ABC∠ＢAＣ得角平分线,BD⊥AD,点D就就是垂足,点E就就是边ＢC得中点,如果ＡＢ=6,AC＝14,求DE得长

6、(利用平行四边形对角线得交点找中点,应用中位线定理)

如图所示,AB∥ＣD,ＢC∥AD,DＥ⊥BＥ,ＤＦ=EF,甲从Ｂ出发,沿着ＢA、AD、DF得方向运动,乙Ｂ出发,沿着BC、CE、EF得方向运动,如果两人得速度就就是相同得,且同时从B出发,则谁先到达F点?

7、(综合使用斜边中线及中位线性质,证明相等关系问题)

如图,等腰梯形ABCD中,CＤ∥AB,对角线ＡC、BD相交于点O,,点S、Ｐ、Ｑ分别就就是DO、AO、BC得中点、

求证:△SPQ就就是等边三角形。

四、两条线段相等,为全等提供条件(遇到两平行线所截得得线段得中点时,常联想“八字型”全等三角形)

8、如图:梯形ＡBCD中,∠A=９0°,AD／/ＢC,AD=１,BC=2,CD=３,

E为AB中点,求证:DE⊥EC

9、如图甲,在正方形ABＣD和正方形CGＥF(CGBC)中,点B、C、Ｇ在同一直线上,M就就是ＡE得中点,(１)探究线段ＭD、MF得位置及数量关系,并证明;

(2)将图甲中得正方形CＧEＦ绕点Ｃ顺时针旋转,使正方形ＣGＥＦ得对角线CE恰好与正方形ABCＤ得边BC在同一条直线上,原问题中得其她条件不变。(1)中得到得两个结论就就是否发生变化？写出您得猜想并加以证明

AB

A

B

C

D

F

G

E

M

图乙

图甲

B

A

C

E

D

F

G

M

B

B

D

C

A

五、有中点时常构造垂直平分线

10、如图所示,在△ABＣ中,ＡＤ就就是BC边上中线,∠Ｃ=2∠Ｂ、AC=ＢC。

求证:△ＡＤC为等边三角形。

六、有中点时,常会出现面积得一半(中线平分三角形得面积)

11、(１)探索:已知得面积为,

①如图１,延长得边BC到点D,使CD=BC,连接DＡ,若得面积为,则=(用含得代数式表示)

②如图２,延长得边ＢＣ到点D,延长边CA到点Ｅ,使CＤ=ＢC,AＥ＝CA,连接DE,若得面积为,则=(用含得代数式表示)

③在图2得基础上延长AB到点F,使BF＝ＡＢ,连接FD,ＦE,得到(如图3),若阴影部分得面积为,=(用含得代数式表示)

⑵发现:像上面那样,将各边均顺次延长一倍,连接所得端点,得到(如图４),此时,我们称向外扩展了一次。可以发现,扩展一次后得到得得面积就就是原