13.2.3 直线与平面的位置关系（十三大题型）（原卷版）.docx

13.2.3直线与平面的位置关系

【题型归纳目录】

题型一：直线与平面的位置关系

题型二：直线与平面平行的判断定理的理解

题型三：直线与平面平行的判定

题型四：补全直线与平面平行的条件

题型五：直线与平面平行的性质

题型六：由线面平行的性质判断比例关系或点的位置关系

题型七：由线面平行的性质求长度问题

题型八：证明两直线垂直

题型九：线面垂直的概念与定理的理解

题型十：直线与平面垂直的判定

题型十一：直线与平面所成角

题型十二：直线与平面垂直的性质定理的应用

题型十三：空间中的距离问题

【知识点梳理】

知识点一、直线与平面的位置关系

位置关系

图形表示

符号表示

公共点

直线a在平面α内

有无数个公共点

直线a与平面α相交

有且只有一个公共点

直线a与平面α平行

无公共点

知识点二、直线和平面平行的判定

文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．简记为：线线平行，则线面平行．

图形语言：

符号语言：、，．

知识点诠释：

（1）用该定理判断直线a与平面平行时，必须具备三个条件：

①直线a在平面外，即；

②直线b在平面内，即；

③直线a，b平行，即a∥b．

这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立．

知识点三、直线和平面平行的性质

文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．简记为：线面平行则线线平行．

符号语言：若，，，则．

图形语言：

知识点诠释：

直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a∥，，，则a∥b．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：（1）直线a和平面平行，即a∥；（2）平面和相交，即；

（3）直线a在平面内，即．三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误．

知识点四：直线与直线垂直的定义

两条直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．

知识点诠释：

空间中两直线垂直可能是相交垂直，也可能是异面垂直，即两条直线互相垂直时可能没有垂足．

知识点五：直线与平面垂直的定义与判定

1、直线和平面垂直的定义

如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作．直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．

知识点诠释：

（1）定义中的“任何直线”与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直．

（2）直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式．

（3）如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直，简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法．画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示．符号语言描述：．

（4）在平面几何中，我们有命题：经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，在本节中，也有类似的命题．

命题1：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直．

命题2：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直．

2、直线和平面垂直的判定定理

文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

图形语言：

符号语言：

特征：线线垂直线面垂直

知识点诠释：

（1）判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视．

（2）要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要．

相关的重要结论

①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条．

②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直．

③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直．

知识点六：直线与平面所成的角

（1）如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

（2）一条直线垂直于平面，称它们所成的角是直角；一条直线在平面内或一条直线和平面平行，称它们所成的角是的角，于是，直线与平面所成的角的范围是．

知识点七：直线与平面垂直的性质

1、基本性质

文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的