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新疆昌吉回族自治州木垒县第一中学2024年高三第一次模拟考试数学试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合的真子集的个数为()

A．7 B．8 C．31 D．32

2．已知函数f（x）＝eb﹣x﹣ex﹣b+c（b，c均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f（5）+f（﹣1）＝（）

A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．4

3．tan570°=（）

A． B．- C． D．

4．已知直线：与椭圆交于、两点，与圆：交于、两点.若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（）

A． B． C． D．

5．已知点P不在直线l、m上，则“过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且则“”是“”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．即不充分不必要条件

7．已知函数，.若存在，使得成立，则的最大值为（）

A． B．

C． D．

8．已知集合，，且、都是全集（为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（）

A． B．或

C． D．

9．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是（）

A． B． C． D．

10．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入、的值分别为、，则输出的值为（）

A． B． C． D．

11．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成.某班级从名男生，，和名女生，，中各随机选出两名，把选出的人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则和两人组成一队参加比赛的概率为（）

A． B． C． D．

12．设函数的导函数，且满足，若在中，，则（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在中，内角所对的边分别是.若，，则__，面积的最大值为___.

14．已知x，y满足约束条件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0，则

15．如图，已知一块半径为2的残缺的半圆形材料，O为半圆的圆心，，残缺部分位于过点C的竖直线的右侧，现要在这块材料上裁出一个直角三角形，若该直角三角形一条边在上，则裁出三角形面积的最大值为______.

16．已知是函数的极大值点，则的取值范围是____________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知矩阵，求矩阵的特征值及其相应的特征向量．

18．（12分）设数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，，若，，成等比数列．

（1）求及；

（2）设，设数列的前项和，证明：．

19．（12分）在中，，是边上一点，且，.

（1）求的长；

（2）若的面积为14，求的长.

20．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设直线交椭圆于两点，线段的中点在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点.

21．（12分）已知椭圆：（）的离心率为，且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合.过点的直线交椭圆于，两点，为坐标原点.

（1）若直线过椭圆的上顶点，求的面积；

（2）若，分别为椭圆的左、右顶点，直线，，的斜率分别为，，，求的值.

22．（10分）已知关于的不等式有解.

（1）求实数的最大值；

（2）若，，均为正实数，且满足.证明：.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

计算，再计算真子集个数得到答案.

【详解】

，故真子集个数为：.

故选：.

【点睛】

本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力.

2、C

【解析】

根据对称性即可求出答案．

【详解】

解：∵点（5，f（5））与点（﹣1，f（﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2，

故它们关于点（2，1）对称，所以f（5）+f（﹣1）＝2，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．

3、A

【解析】

直接利用