新高考数学二轮复习常考题分类讲练圆锥曲线解答题6种常考题型专题训练（解析版）.doc

2023新高考圆锥曲线解答题6种常考题型专题训练

【题型目录】

题型一：圆锥曲线中的弦长面积问题

题型二：圆锥曲线直线圆过定点问题

题型三：圆锥曲线中定值问题

题型四：圆锥曲线中的定直线问题

题型五：圆锥曲线中的存在性问题

题型六：圆锥曲线中的非对称韦达定理问题

【题型总结】

题型一：圆锥曲线中的弦长面积问题

【例1】已知椭圆，，分别为左右焦点，点，在椭圆E上.

(1)求椭圆E的离心率；

(2)过左焦点且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆E于A，B两点，若的中点为M，O为原点，直线交直线于点N，求取最大值时直线l的方程.

【答案】(1)，(2)

【分析】（1）根据椭圆过点的坐标，求出椭圆方程，即可求出椭圆的离心率；

（2）设直线方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可得到的中点的坐标，从而求出直线的方程，即可得到的坐标，表示出、，即可得到，再根据函数的性质求出最大值；

（1）解：将，代入椭圆方程，

解得，所以椭圆的方程为，

又，所以

（2）解：设直线方程为，，，

联立可得；

则，且，，

设的中点，则，，

∴坐标为，，

因此直线的方程为，从而点为，又，，

所以，令，

则，

因此当，即时，最大值为3.

所以的最大值为，此时，直线l的方程为.

【例2】已知椭圆，由E的上?下顶点，左?右焦点构成一个边长为的正方形.

(1)求E的方程；

(2)过E的右焦点F做相互垂直的两条直线，，分别和E交点A，B，C，D，若由点A，B，C，D构成的四边形的面积是，求，的方程.

【答案】(1)

(2)与的方程分别为：，

【分析】（1）由题分析可确定，，从而得椭圆的标准方程；

（2）讨论直线斜率是否存在，设直线方程，然后结合椭圆方程，确定交点坐标关系，从而根据几何性质列式求解即可得直线方程

（1）解：由已知，，，所以E的方程为.

（2）解：又题意中，，

①若或斜率不存在，易知，不符合题意；

②若斜率存在，设，和的方程联立得：

，，，

，

设，同理可得，

所以

解得，，所以与的方程分别为：，，

【例3】如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，且经过点，直线恒过定点且交椭圆于两点，为的中点.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)记的面积为S，求S的最大值.

【答案】(1)，(2)

【分析】（1）由直线过定点坐标求得，再由椭圆所过点的坐标求得得椭圆方程；

（2）设，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得，

计算弦长，再求得到直线的距离，从而求得三角形面积，由函数的性质求得最大值．

（1）由题意可得，直线恒过定点，因为为的中点，所以，即.

因为椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的方程为.

（2）设.由得恒成立，

则，

则

又因为点到直线的距离，

所以

令，则，

因为，时，，在上单调递增，

所以当时，时，故.

即S的最大值为.

【点睛】方法点睛：本题求椭圆的标准方程，直线与椭圆相交中三角形面积问题，计算量较大，属于难题．解题方法一般是设出交点坐标，由（设出）直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理，然后由弦长公式求得弦长，再求得三角形的另一顶点到此直线的距离，从而求得三角形的面积，最后利用函数的性质，基本不等式等求得最值．

【题型专练】

1.已知椭圆C的左、右焦点分别为，离心率为，过点且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P，且的面积为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点的直线与y轴正半轴交于点S，与曲线C交于点E，轴，过点S的另一直线与曲线C交于M，N两点，若，求所在的直线方程．

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）根据题意，列方程求解即可；

（2）根据题意，作图可得，得到点，利用，得到，结合，得到，即.再设，，则，，然后联立方程，利用韦达定理进行消参求解即可得到答案

（1）由题意知，，

又，∴，，

∴椭圆标准方程为.

（2）∵轴，∴，

设，则，∴，即，

∵，∴，∴，

∴，即，

设，，则，，

∴.

①当直线的斜率不存在时，的方程为，此时∴不符合条件.

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立得.

得，

∴，即，解得.

故直线的方程为或.

2.在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.

(1)求轨迹的方程；

(2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.

（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；

（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.

【答案】(1)，(2)（i）证明见解析；（ii）

【分析】（1）根据两圆内切和外切列出圆心距与半径的关系，即可发现圆心的轨迹满足椭圆的定义，进而可求其方程，

（2）联立直线与椭圆方程，得韦达定理，根据点坐标可得方程，进而代入韦达定理即可求出坐标，根据弦长公式可求长度，进而得长，根据垂直，即可表示四边形的面积