《高等数学》连续》课件.pptVIP

高等数学-连续函数连续函数是高等数学的重要概念，它描述了函数在某个区间内连续变化的特性。

连续函数的定义函数的连续性在数学中，连续函数是指函数的图形没有间断点，即曲线连续不断。直观地，我们可以理解为在函数图象上画出一条直线，当直线与函数图象相交时，直线在函数图象上不会突然断开。

连续函数的性质11.有界性在一个闭区间上连续的函数，在该区间上必然有界。22.最大值最小值定理在一个闭区间上连续的函数，在该区间上一定能取得最大值和最小值。33.中间值定理在一个闭区间上连续的函数，如果函数在该区间端点的函数值异号，则函数在该区间内至少存在一个零点。44.介值定理在一个闭区间上连续的函数，如果函数在该区间端点的函数值分别为a和b，则函数在该区间内能够取得介于a和b之间的任何值。

一致连续函数一致连续定义在整个定义域上，函数的变化率有界，即对于任何一个给定的正数，都存在一个正数，使得当两个点的距离小于该正数时，它们的函数值之差也小于给定的正数。一致连续性质如果一个函数在某个区间上是一致连续的，那么它一定在这个区间上是连续的，但反过来不一定成立。

连续函数的运算加减运算两个连续函数的和差仍然是连续函数，这是由连续函数的定义直接推出的。例如，两个连续函数f(x)和g(x)的和为f(x)+g(x)，它也是一个连续函数。乘法运算两个连续函数的乘积仍然是连续函数，这个结论也是由连续函数的定义直接推出的。两个连续函数f(x)和g(x)的乘积为f(x)*g(x)，也是一个连续函数。除法运算两个连续函数的商在分母不为零的情况下仍然是连续函数，这个结论也是由连续函数的定义直接推出的。两个连续函数f(x)和g(x)的商为f(x)/g(x)，只有在g(x)不为零的情况下才是连续函数。复合函数复合函数的连续性需要满足一定的条件。当外函数和内函数都连续时，复合函数也是连续的。

初等函数的连续性多项式函数在整个定义域上连续有理函数在分母不为零的点上连续指数函数在整个定义域上连续对数函数在正实数域上连续

复合函数的连续性复合函数当一个函数的定义域包含另一个函数的值域时，这两个函数可以组成复合函数。连续性复合函数的连续性取决于其组成函数的连续性。连续函数如果复合函数的每个组成函数在对应的点上都是连续的，则复合函数在该点也是连续的。

微分中值定理引入微分中值定理是微积分学中一个重要的定理，它刻画了函数在某个区间内的变化规律，为许多重要的结论提供了基础。内容若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则存在一点c∈(a,b)，使得f(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)成立。几何意义微分中值定理的几何意义是指，在函数图像上连接两点的直线的斜率等于函数在该区间内某个点的切线的斜率。应用微分中值定理在许多实际问题中都有应用，例如，它可以用来证明函数的单调性、求解方程的近似解以及研究函数的凹凸性等。

罗尔定理1前提条件函数在闭区间上连续函数在开区间上可导函数在闭区间端点处的函数值相等2定理内容如果满足上述条件，则在开区间内至少存在一点，使得函数在该点的导数为零。3几何意义在满足罗尔定理条件的情况下，函数图像上至少存在一个水平切线。

拉格朗日中值定理1连续函数在闭区间上连续2可导函数在开区间上可导3中值点存在一个中值点c拉格朗日中值定理是一个重要的微积分定理。它指出，如果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，那么在这个区间内一定存在一个点，使得函数在该点的导数等于函数在这两个端点处的平均变化率。

柯西中值定理1柯西中值定理两个可导函数同一区间2导数之比函数值之差的比值3存在一点导数之比等于函数值之差的比值柯西中值定理是微积分中的一个重要定理，它是拉格朗日中值定理的推广。柯西中值定理是证明许多微积分结论的重要工具，例如泰勒公式和洛必达法则。

函数的极限11.定义函数的极限是函数在自变量趋近于某个值时，函数值所趋近的值。22.性质函数极限的性质包括唯一性、有界性、保号性等。33.求法求函数极限的方法包括直接代入法、等价无穷小替换法、洛必达法则等。

未定式的计算利用洛必达法则当极限为0/0或∞/∞时，可使用洛必达法则求解。化简代换通过代数变形或三角恒等式化简表达式，消除未定式。泰勒展开式将函数展开为泰勒级数，并利用级数的性质求解极限。

函数极限存在的判定夹逼定理若函数f(x)和g(x)的极限都存在，且f(x)≤h(x)≤g(x)，则h(x)的极限也存在，且等于f(x)和g(x)的极限。单调有界定理如果函数f(x)在某个区间上单调且有界，则f(x)在该区间上存在极限。ε-δ定义对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当0|x-a|