2024高考数学一轮复习第八章解析几何课时作业48双曲线文.docVIP

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课时作业48双曲线

[基础达标]

一、选择题

1．[2024·山西联考]已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)的焦距为4eq\r(5)，渐近线方程为2x±y＝0，则双曲线的方程为()

A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1B.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1

C.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,64)＝1D.eq\f(x2,64)－eq\f(y2,16)＝1

解析：解法一易知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)(a0，b0)的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，得eq\f(b,a)＝2，因为双曲线的焦距为4eq\r(5)，所以c＝2eq\r(5)，结合c2＝a2＋b2，可得a＝2，b＝4，所以双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1，故选A.

解法二易知双曲线的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，可设双曲线的方程为x2－eq\f(y2,4)＝λ(λ0)，即eq\f(x2,λ)－eq\f(y2,4λ)＝1，因为双曲线的焦距为4eq\r(5)，所以c＝2eq\r(5)，所以λ＋4λ＝20，λ＝4，所以双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1，故选A.

答案：A

2．[2024·山东潍坊模拟]已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)的焦点到渐近线的距离为eq\r(3)，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为()

A．1B.eq\r(3)

C．2D．2eq\r(3)

解析：由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离为eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b＝eq\r(3)，即c2－a2＝3，又e＝eq\f(c,a)＝2，所以a＝1，该双曲线的实轴的长为2a＝2.

答案：C

3．[2024·全国卷Ⅲ]已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)的离心率为eq\r(2)，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()

A.eq\r(2)B．2

C.eq\f(3\r(2),2)D．2eq\r(2)

解析：由题意，得e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)，c2＝a2＋b2，得a2＝b2.又因为a0，b0，所以a＝b，渐近线方程为x±y＝0，点(4,0)到渐近线的距离为eq\f(4,\r(2))＝2eq\r(2).故选D.

答案：D

4．[2024·江西联考]已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)的离心率为2，左，右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上，若△AF1F2的周长为10a，则△AF1F2的面积为()

A．2eq\r(15)a2B.eq\r(15)a2

C．30a2D．15

解析：由双曲线的对称性不妨设A在双曲线的右支上，由e＝eq\f(c,a)＝2，得c＝2a，∴△AF1F2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|F1F2|＝|AF1|＋|AF2|＋4a，又△AF1F2的周长为10a，∴|AF1|＋|AF2|＝6a，又∵|AF1|－|AF2|＝2a，∴|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，在△AF1F2中，|F1F2|＝4a，

∴cos∠F1AF2＝eq\f(|AF1|2＋|AF2|2－|F1F2|2,2|AF1|·|AF2|)＝eq\f(?4a?2＋?2a?2－?4a?2,2×4a×2a)＝eq\f(1,4).

∴sin∠F1AF2＝eq\f(\r(15),4)，∴S△AF1F2＝eq\f(1,2)|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝eq\f(1,2)×4a×2a×eq\f(\r(15),5)＝eq\r(15)a2.故选B.

答案：B

5．[2024·南昌调研]已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上其次象限内一点，若直线y＝eq\f(b,a)x恰为线段PF2的垂直平分线，则双曲线C的离心率为()

A.eq\r(2)B.eq\r(3)

C.eq\r(5)D.eq\r(6)

解析：由题，结合图知，直线PF2的方程为y＝－eq\f(a,b)(x－c)，设直线PF2与直线y＝eq\f(b,a)x的交点为N，易知Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，\f(ab,c)))，又线段PF2的中点为N，故Peq\b\lc\(\rc