可降阶的二阶微分方程省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件.pptx

可降阶二阶微分方程第六节一、型微分方程二、型微分方程三、型微分方程第1页

一、令所以即同理可得依次经过n次积分,可得含n个任意常数通解.型微分方程第2页

例1.解:第3页

型微分方程设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程通解二、第4页

例２.求解解:代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用所以所求特解为第5页

例３.绳索仅受重力作用而下垂,解:取坐标系如图.考查最低点A到(?:密度,s:弧长)弧段重力大小按静力平衡条件,有故有设有一均匀,柔软绳索,两端固定,问该绳索平衡状态是怎样曲线?任意点M(x,y)弧段受力情况:A点受水平张力HM点受切向张力T两式相除得第6页

则得定解问题:原方程化为两端积分得则有两端积分得故所求绳索形状为悬链线第7页

三、型微分方程令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程通解第8页

例４.求解代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解:第9页

M:地球质量m:物体质量例５.静止开始落向地面,求它落到地面时速度和所需时间(不计空气阻力).解:如图所表示选取坐标系.则有定解问题:代入方程得积分得一个离地面很高物体,受地球引力作用由第10页

两端积分得所以有注意“－”号第11页

因为y=R时由原方程可得所以落到地面(y=R)时速度和所需时间分别为第12页

说明:若此例改为如图所表示坐标系,解方程可得问:此时开方根号前应取什么符号?说明道理.则定解问题为第13页

例６.解初值问题解:令代入方程得积分得利用初始条件,依据积分得故所求特解为得第14页

为曲边曲边梯形面积上述两直线与x轴围成三角形面例７.二阶可导,且上任一点P(x,y)作该曲线切线及x轴垂线,区间[0,x]上以解:于是在点P(x,y)处切线倾角为?,满足方程.积记为(99考研)第15页

再利用y(0)=1得利用得两边对x求导,得定解条件为方程化为利用定解条件得得故所求曲线方程为第16页

内容小结可降阶微分方程解法——降阶法逐次积分令令第17页

思索与练习1.方程怎样代换求解?答:令或普通说,用前者方便些.均可.有时用后者方便.比如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?答:(1)普通情况,边解边定常数计算简便.(2)碰到开平方时,要依据题意确定正负号.第18页

P1651、(1)(３)(４)2、(１)(３)3、4作业第19页

速度大小为2v,方向指向A,提醒:设t时刻B位于(x,y),如图所表示,则有去分母后两边对x求导,得又因为设物体A从点(0,1)出发,以大小为常数v备用题速度沿y轴正向运动,物体B从(–1,0)出发,试建立物体B运动轨迹应满足微分方程及初始条件.①机动目录上页下页返回结束第20页