数学物理方法习题省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件.pptx

周期函数傅里叶级数展开：;周期函数傅里叶级数展开：

奇函数傅里叶展开：只含正弦项

偶函数傅里叶展开：只含余弦项

定义在有限区间(0,l)：延拓成周期函数;必备高等数学知识：

微积分：与三角函数相关积分

三角函数本身：

三角函数之积：积化和差;必备高等数学知识：

微积分：与三角函数相关积分

多项式与三角函数之积：分部积分;周期函数傅里叶级数展开：

例：P.92,5.(1)题

有限区间?需要延拓

?奇周期函数：T=2?

?应展开为傅里叶正弦级数：;周期函数傅里叶级数展开：

续上页：

故：

;数学物理定解问题“翻译”：

泛定方程导出：

确定研究物理量?微元分析?偏微分方程

常见三类泛定方程：

?双曲型

?抛物型

?椭圆型

“二阶线性偏微分方程”？“齐次方程”？;数学物理定解问题“翻译”：

常见三类边界条件：

“齐次边界条件”？

初始条件：;数学物理定解问题“翻译”：

【例】弦振动

1.P179，第1题：无限长、自由振动

2.P201，第1题：有限长、自由振动;;数学物理定解问题“翻译”：

【例】弦振动

3.振动几个常见边界条件：;数学物理定解问题“翻译”：

【例】杆纵振动

1.P161，第2题：端点受力，第二类边界条件

2.P179，第6题：半无限长、延拓;数学物理定解问题“翻译”：

【例】杆纵振动

3.P201，第4题：初始长度收缩;数学物理定解问题“翻译”：

【例】杆纵振动

4.边界条件or初始条件：;数学物理定解问题“翻译”：

【例】热传导

1.P161，第3题：端点有热流，第二类边界条件

2.P201，第2题：输运方程、一个初始条件;数学物理定解问题“翻译”：

P152，第5题：热传导方程、非齐次

热传导，温度u(x,t)，热量守恒定律、热传导定律

;数学物理定解问题“翻译”：

【例】稳定分布：拉普拉斯方程

1.P202，第17题：圆域，极坐标

2.换??圆环？换成球壳？?球坐标;数学物理定解问题“翻译”：

学会“翻译”：

定解问题=泛定方程+定解条件（边界、初始）

物理分析：微元分析、受力平衡、守恒定律等

常见三类泛定方程：

波动方程、输运方程、稳定场方程

特征判断：最高阶数、是否线性、是否齐次

常见三类边界条件：

第一类、第二类、第三类

特征判断：是否齐次

方程所需初始条件：

波动（2）、输运（1）、稳定场（0）;数学物理定解问题求解方法：

行波法（达朗贝尔公式）：

物理意义：分别沿正、反方向传输行波

适用：无界空间一维齐次波动方程

半无界情形：延拓（满足初始条件）

分离变数法：

基本思绪：分解为几个常微分方程；本征值问题

?分两种情况：

本征解是三角函数情形：直角坐标、极坐标

主要步骤：分离变数?本征解?叠加解?定系数

非齐次问题处理思绪：齐次化（特解、叠加）

傅里叶级数展开（系数公式、惯用积分）;必备高等数学知识：

常微分方程：

齐次方程：一元、二元；通解

非齐次方程：特解+通解;达朗贝尔公式、行波法：

一维齐次波动方程通解：

无界空间一维波动方程达朗贝尔公式：

物理意义：

用途：解一些数理方程（行波法）;达朗贝尔公式、行波法：

【例】

1.P179，第1题：无限长?直接代入公式

2.P179，第6题：半无限长?延拓;;;分离变数法（傅里叶级数法）：

【例】齐次方程、齐次边界条件

1.P201，第1题：波动方程;;;分离变量法流程图;分离变数法（傅里叶级数法）：

基本思绪：

把偏微分方程分解为几个常微分方程来求解

其中有常微分方程带有附加条件而组成本征值问题

主要步骤：

将未知函数写成不一样变数函数直积形式

代入泛定方程和齐次边界条件?分离变数

求解本征值问题?本征值、本征函数

所求解可写成本征解叠加形式

依据初始条件确定叠加系数?傅里叶