平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件(人教A必修.pptVIP

平面向量数量积本节课我们将学习平面向量数量积的坐标表示、模和夹角，并运用这些知识解决相关问题。

什么是向量及其数量积向量既有大小又有方向的量。数量积两个向量运算的结果是一个标量，它的大小等于两个向量模的乘积与它们夹角的余弦值的积。

向量的坐标表示在平面直角坐标系中，可以用一对有序实数来表示一个向量，称为向量的坐标表示。例如，向量a的起点为O，终点为A，则a的坐标表示为(x,y)，其中x是向量a在x轴上的投影，y是向量a在y轴上的投影。

向量的模及其计算定义向量a的模是指向量a的长度，记作|a|。计算设向量a=(x,y)，则|a|=√(x2+y2)

向量的夹角及其计算1角度2公式3例子两个非零向量之间的夹角是指这两个向量始点重合时所成的角，且这个角的度数在0度到180度之间。向量夹角的计算公式为：cosθ=(a·b)/(|a||b|)，其中a和b分别代表两个向量，θ代表它们的夹角。

角度的三角函数定义1正弦在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦，记作sin2余弦在直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦，记作cos3正切在直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切，记作tan

向量夹角的三角函数表示1定义当两个非零向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的夹角为$\theta$时，有：$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{||\overrightarrow{a}||||\overrightarrow{b}||}$2应用根据向量数量积的坐标表示，可以将向量夹角的余弦值用向量的坐标表示出来。这在计算向量夹角时非常方便。3举例例如，已知$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(3,4)$，求$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的夹角$\theta$。$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{||\overrightarrow{a}||||\overrightarrow{b}||}=\frac{(1,2)\cdot(3,4)}{\sqrt{1^2+2^2}\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{11}{5\sqrt{5}}$

向量数量积的应用力学计算功、机械能电磁学计算电场力、磁场力几何求角、判断垂直关系

判断两个向量的关系垂直当两个向量的数量积为0时，这两个向量垂直。平行当两个向量的数量积等于它们的模的乘积时，这两个向量平行。反向当两个向量的数量积等于它们的模的乘积的负数时，这两个向量反向。

向量数量积性质及计算实例1交换律对于任意两个向量a和b，有a·b=b·a.分配律对于任意三个向量a，b和c，有a·(b+c)=a·b+a·c.结合律对于任意一个实数k和两个向量a和b，有(ka)·b=k(a·b)=a·(kb).

向量数量积性质及计算实例21性质若两个向量a、b反向，则a·b02实例设a=(1,2)，b=(-2,-4)，则a·b=-2-8=-10

向量数量积性质及计算实例31性质3a·a=|a|22证明利用定义进行推导3应用求向量模长的平方

向量数量积在平面几何中的应用1计算线段长度利用向量数量积可以计算两个点之间的距离，即线段长度。判断垂直关系两个向量垂直的充要条件是它们的向量数量积为0。求解角的大小利用向量数量积可以求解两个向量的夹角。

向量数量积在平面几何中的应用2计算三角形面积利用向量数量积可以计算三角形面积，公式为：S=1/2*|a*b|，其中a和b为三角形两边向量。判断两直线平行如果两条直线的向量方向向量a和b满足a*b=0，则两直线平行。判断两直线垂直如果两条直线的向量方向向量a和b满足a*b=0，则两直线垂直。

向量数量积在平面几何中的应用3三角形面积利用向量数量积可以推导出三角形面积公式，可以简化计算。判断线段垂直若向量数量积为0，则这两个向量垂直，可用于判断线段是否垂直。求两线段夹角利用向量数量积可以求出两线段的夹角，方便解决几何问题。

向量数量积在机械中的应用11计算功在力学中，功等于力的大小与物体在力的方向上移动的距离的乘积。2分析力矩力矩是力使物体绕某点转动的趋势，它等于力的大小与力臂的乘积。3确定机械效率机械效率是机械输出