线性代数矩阵及其运算 (3).ppt

第63页，共99页，星期日，2025年，2月5日2行阶梯形矩阵定义2.11一个矩阵称为行阶梯形矩阵，如果从第一行起，每行第一个非零元素前面零的个数逐行增加，一旦出现零行，则后面各行（如果有的话）都是零行如下面的阶梯形矩阵第64页，共99页，星期日，2025年，2月5日行标准型下面形式的矩阵称为行标准型下面形式的矩阵称为标准型第65页，共99页，星期日，2025年，2月5日3.定理2.3设A是一个m行n列矩阵，通过行初等变换可以把A化为如下行标准型第66页，共99页，星期日，2025年，2月5日4定理矩阵A可经初等变换化为标准形:第67页，共99页，星期日，2025年，2月5日（1）.已知分别将A的第一、二行互换和将A的第一列的?2倍加到第二列，求出相应的初等矩阵,并用矩阵乘法将这两种变换表示出来。第68页，共99页，星期日，2025年，2月5日解交换A的第一、二行，可用二阶初等矩阵左乘A：第69页，共99页，星期日，2025年，2月5日将A的第一列的?2倍加到第二列，即用三阶初等矩阵右乘A：第70页，共99页，星期日，2025年，2月5日第31页，共99页，星期日，2025年，2月5日第32页，共99页，星期日，2025年，2月5日设对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B使得AB=BA=E恒成立，则称矩阵A可逆或满秩矩阵,或非奇异矩阵；B称为A的逆矩阵，记为A－1=B。1）.若矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的。证明：设A有两个逆矩阵B1、B2，则B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B21、可逆矩阵的定义（定义2.8）2、可逆矩阵的唯一性、存在性及性质§2.3逆矩阵第33页，共99页，星期日，2025年，2月5日证明：充分性由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘法的定义有：AA*=A*A=|A|E，又|A|≠02）.定理2.2A可逆的充要条件是|A|≠0，且A可逆时有第34页，共99页，星期日，2025年，2月5日3）.对于n阶方阵A、B若有AB=E则：A、B均可逆，且它们互为可逆矩阵。证明：∵AB=E∴|A||B|=1故|A|≠0且|B|≠0，A、B均可逆，又BA=BABB－1=BB－1=E,故A－1=B 必要性证明：∵A可逆∴AA－1=A－1A=E故|A||A－1|=1，即|A|≠0，A可逆，同时还有奇异矩阵与非奇异矩阵：若n方阵Ａ的行列式|A|≠0，称矩阵A为非奇异矩阵，否则矩阵A称为奇异矩阵。第35页，共99页，星期日，2025年，2月5日4）.逆矩阵的性质如果A、B均可逆，那么AT与AB都可逆，且(A－1)－1＝A(AT)－1＝(A－1)T(AB)－1＝B－1A－1(kB)－1＝k－1A－1(k为非零）|A－1|=|A|－1证明：∵A、B均可逆∴AA－1=A－1A＝E故(AA－1)T=(A－1)TAT＝ET=E∴(AT)－1=(A－1)T同理(AB)(B－1A－1)＝(B－1A－1)(AB)＝E∴(AＢ)－1=Ｂ－1A－1第36页，共99页，星期日，2025年，2月5日有关逆矩阵例题第37页，共99页，星期日，2025年，2月5日第38页，共99页，星期日，2025年，2月5日第39页，共99页，星期日，2025年，2月5日第40页，共99页，星期日，2025年，2月5日第41页，共99页，星期日，2025年，2月5日第42页，共99页，星期日，2025年，2月5日本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的方法，即矩阵的分块。将矩阵A用若干条横线与若干条纵线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵A的子块。以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。特别在运算中，把这些小矩阵当做一个数来处理。§2.4分块矩阵第43页，共99页，星期日，2025年，2月5日第44页，共99页，星期日，2025年，2月5日即Aij与Bij有相同的列数与行数，则：A与B的和就是以Aij与Bij为元素的形式矩阵相加。2.4.1分块矩阵的加