2025北京人大附中高一（上）期末数学试卷（含答案）.docx

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2025北京人大附中高一（上）期末

数学

2025．01

学校______班级______姓名______

考生须知

1．本试卷共7页，共三道大题，19道小题.满分100分.考试时间90分钟.

2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名.

3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答.

4．考试结束，请将本试卷交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合，，则（）

A. B.

C. D.

2.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（）

A. B.

C. D.

3.已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（）

A. B.

C. D.

4.某校高一年级有名男生，名女生.为了解高一学生研学路线的选择意向，采用分层抽样的方法，从该校高一学生中抽取容量为的样本进行调查，其中女生名，则的值为（）

A. B.

C. D.

5.已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（）

A. B. C. D.

6.若，则下列不等式成立的是（）

A. B.

C. D.

7.已知函数.若恒成立，则的取值可以是（）

A. B.

C. D.

8.点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时，衰减量（单位：）与传播距离（单位：）的关系式为，其中为常数.当传播距离为时，衰减量为；当传播距离为时，衰减量为.若，则约为（）（参考数据：）

A. B.

C. D.

9.设函数的定义域为，开区间，则“，且，都有”是“在上是增函数”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

10.已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则下列说法正确的是（）

A.有最小值 B.有最大值

C.有最小值 D.有最大值

第二部分（非选择题共60分）

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.

11.计算：=________________.

12.已知命题p：若二次函数满足，则在区间内无零点．能说明p为假命题的一个二次函数是______．

13.已知的图象经过点，则__________；若方程有两个不等实数根，满足，则实数的取值范围为__________.

14.已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为_______________.

15.函数，其中表示不超过a的最大整数．给出下列四个结论：

①的定义域为；

②方程没有实数根；

③函数的值域为；

④存在实数，使得当且时，都有．

其中所有正确结论的序号是__________________．

三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知关于不等式的解集，集合．

（1）求实数的值；

（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围．

条件①：；

条件②：．

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

17.某市在旅游旺季时，为应对景区可能出现人流量过大的情况，规定：当人流量达到景区最大承载量的时，将对该景区采取局部限流措施；当人流量达到景区最大承载量的时，将对该景区采取完全限流措施.小明计划假期去该市甲、乙、丙三个旅游景区旅行，他调查了甲、乙、丙三个旅游景区在去年同期天的限流措施情况，见下表：

景区限流情况

景区累计天数

不限流

局部限流

完全限流

甲景区累计天数

天

天

天

乙景区累计天数

天

天

天

丙景区累计天数

天

天

天

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三个景区限流情况相互独立

（1）小明某天到甲景区旅游，估计小明遇到完全限流的概率；

（2）小明任选两天，分别到乙、丙两景区游览，估计小明在两个景区至少遇到一次限流（包括局部限流和完全限流）的概率；

（3）小明计划在一天内从甲、乙、丙三个景区中选择两个景区，并分别在上午和下午游览.若存在以下两种情况之一，则不能完成游览：

（ⅰ）在上午的游览中遇到局部限流，且下午的游览中遇到完全限流；

（ⅱ）在上午的游览中遇到完全限流.

请帮助小明制定游览计划，使他完成游览的概率最大：上午游览景区，下午游览景区.（从“甲、乙、丙”中选择两个填写）

18.已知函数.

（1）若，求的值；

（2）当时，用函数单调性定义证明在区间上是增函数；

（3）若，，恒成立，且函数在上单调递增，求的最小值.

19.已知非空集合满足如下三个性质，则称集合满足性质：

①