对称多项式课件.ppt

§1.11对称多项式——韋達定理設①若在上有個根，則②把②展開，與①比較，即得根與係數的關係：一、一元多項式根與係數的關係（所有可能的i個不同的的積之和），特別地，為其根，則有二、n元對稱多項式定義設，若對任意，有則稱該多項式為對稱多項式．如，下列n個多項式稱為個未定元的初等對稱多項式．1．對稱多項式的和、積仍是對稱多項式；對稱多項式的多項式仍為對稱多項式．則是元對稱多項式．特別地，初等對稱多項式的多項式仍為對稱多項式．若為對稱多項式，為任一多項式，性質即，2．對稱多項式基本定理對任一對稱多項式,都有n元多項式,使得為初等對稱多項式．則必有作對稱多項式設對稱多項式按字典排列法的首項為證明：再作對稱多項式則的首項為則有比較“小”的首項．對重複上述作法，並依此下去.即有一系列對稱多項式它們的首項一個比一個“小”，所以必終此在有限步．．故存在，使於是這就是一個初等對稱多項式的多項式．上述證明過程實際上是逐步消去首項.逐步消去首項法的一般步驟：則一定有第一步：找出對稱多項式f的首項,第二步：由f的首項寫出:說明確定它對應的指數組第三步：作，並展開化簡．如此反復進行，直到出現，則再對按一、二、三步驟進行，構造例1.把多項式f表成初等對稱多項式的多項式,令的首項是解:作對稱多項式它所對應的指數組是它所對應的數組是f的首項是令作對稱多項式所以，令於是對於齊次對稱多項式還可以採用待定係數法．(設f是m次齊次對稱多項式)第一步：根據對稱多項式f首項對應的指數組寫出所有可能的指數組，且這些指數組滿足：③前面的指數組先於後面的指數組．①②附：待定係數法的一般步驟：的初等對稱多項式的方冪的乘積：第二步：對每個指數組，寫出它對應第三步：設出f由所有初等對稱多項式的方冪乘積的線性運算式，其首項係數即為f的首項係數，其餘各項係數分別用A、B、C、…代替．第四步：分組選取適當的的值，計算出及f，性運算式中，得到關於A、B、C、…的線性方程組，解這個線性方程組求得A、B、C、…的值．最後寫出所求的f的運算式．將之代入第三步中設出的線例2用待定係數法把表成初等對稱多項式的多項式．所有不先於的三次指數組及相應的初等對稱解:它所對應的數組是f的首項是多項式方冪的乘積如下表:指數組相應的初等對稱多項式方冪的乘積§1.11对称多项式