2025年九年级中考数学三轮冲刺练习圆中相似三角形和锐角三角函数综合练习.docxVIP

2025年九年级中考数学三轮冲刺练习圆中相似三角形和锐角三角函数综合练习

1．如图，△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，交AB的延长线于点E，垂足为点F．

（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AB＝18，sinA=13，求BE

2．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，连接AC，BC，CO平分∠ACD，CE⊥DB，交DB延长线于点E．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为5，sinD=35，求

3．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，延长DE交AB的延长线于点F．

（1）求证：DF为⊙O的切线；

（2）若BE＝1，BF＝3，求sinC的值．

4．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接BD，CD．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若CE＝1，sin∠BAD=13，求⊙

5．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，BC＝BD，延长BA至E，使得∠ADE＝∠CBA．

（1）求证：ED是⊙O的切线；

（2）若BO＝4，tan∠CBA=12，求

6．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O经过A、C两点，交AB于点D，CO的延长线交AB于点F，DE∥CF交BC于点E．

（1）求证：DE为⊙O的切线；

（2）若AC＝4，tan∠CFD＝2，求⊙O的半径．

7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，⊙O经过B，C两点，与斜边AB交于点E，连接CO并延长交AB于点M，交⊙O于点D，过点E作EF∥CD，交AC于点F．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若BM＝42，tan∠BCD=12，求OM

8．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．

（1）求证：AB与半圆O相切；

（2）连接OA．若CD＝4，CF＝2，求sin∠OAC的值．

9．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F．

（1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）若sin∠CFB=22，AB

10．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC．点D，E分别是BC，AC的中点，连接DE并延长至点F，使DE＝EF，连接AF．

（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；

（2）求证：AF与⊙O相切；

（3）若tan∠BAC=34，BC＝12，求⊙

11．【问题背景】

已知点A是半径为r的⊙O上的定点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到OE，连接AE，过点A作⊙O的切线l，在直线l上取点C，使得∠CAE为锐角．

【初步感知】

（1）如图1，当α＝60°时，∠CAE＝°；

【问题探究】

（2）以线段AC为对角线作矩形ABCD，使得边AD过点E，连接CE，对角线AC，BD相交于点F．

①如图2，当AC＝2r时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC＝CD+ED总成立：

②如图3，当AC=43r，CEOE=2

12．如图，BD是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，且AB＝AC，以AD为边作∠DAF＝∠ACD交BD的延长线于点F．

（1）求证：AF是⊙O的切线；

（2）过点A作AE⊥BD交BD于点E，若CD＝3DE，求cos∠ABC的值．

13．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝10，过点A作AE∥BC，交⊙O的直径BD的延长线于点E，连结CD．

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）若tan∠ABE=12，求CD和DE

14．如图，在菱形ABCD中，DH⊥AB于H，以DH为直径的⊙O分别交AD，BD于点E，F，连接EF．

（1）求证：①CD是⊙O的切线；

②△DEF∽△DBA；

（2）若AB＝5，DB＝6，求sin∠DFE．

15．如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE＝∠ABC．

（1）求证：EF与⊙O相切；

（2）若BF＝1，sin∠AFE=45，求BC

参考答案

1．【解答】解：（1）DE为⊙O的切线，理由为：

证明：连接OD，BD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴BD⊥AC，

∵AB＝CB，

∴点D为AC的中点，

∵点O为AB的中点，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥BC，

∴∠ODE＝∠DFC，

∵DE⊥BC，

∴∠DFC＝90°，

∴∠ODE＝90°，

∴DE⊥OD，

∵OD为⊙O的半径，D为O