《高等数学》上册(全集)-导数及微分省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件.pptx

第2章

导数及微分第1页

【学习目标】

1.了解导数、微分概念及导数、微分几何意义，会求曲线切线和法线方程；

2.熟练掌握基本初等函数求导公式及导数四则运算法则；掌握复合函数、隐函数求导方法；

3.了解高阶导数定义，会求高阶导数；了解二元函数偏导数概念，会计算简单二元函数偏导数；

4.掌握基本初等函数微分公式及微分四则运算法则，会用微分近似公式进行计算.第2页

2.1导数概念1.问题提出

引例1变速直线运动速度问题.

设一质点从点Ｏ出发作变速直线运动，其运动方程为s=s(t).求质点在任一时刻t0瞬时速度，如图2-1所表示.第3页

我们知道，当质点作匀速直线运动时，其速度v等于经过旅程s与所用时间t之比，即设变速直线运动质点在时刻t0到t0+Δt内所经过旅程为Δs，即则在时间段Δt内平均速度第4页

显然，时间段Δt越小，质点运动速度改变越小,可近似看做匀速直线运动,平均速度v就越靠近于质点在t0时刻瞬时速度v(t0)，即当Δt→0，平均速度v极限，便是质点在t0时刻瞬时速度，即第5页

2.导数定义

定义设函数y=f(x)在点x0左右近旁有定义，自变量x在点x0处有改变量Δx(Δx≠0)(也叫自变量增量)时，对应函数改变量(也叫函数增量)为Δy=f(x0+Δx)－f(x0).当Δx→0时，若比值ΔyΔx极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称此极限值为函数y=f(x)在点x0处导数值，记作f′(x0)，即第6页

也记作假如极限不存在，则称函数y=f(x)在点x0处不可导.假如函数y=f(x)在区间(a,b)内任意点x处都可导，则称函数y=f(x)在区间(a,b)内可导.第7页

对每一个x∈(a,b)，都对应着函数y=f(x)一个导数值，于是得到一个新函数f′(x)，这个新函数f′(x)称为函数y=f(x)导函数，简称为导数.记作f′(x)，即显然，函数y=f(x)在点x0处导数值f′(x0)，就是导函数f′(x)在点x0函数值.第8页

由定义知，引例1中，变速直线运动s=s(t)质点在t0时刻瞬时速度ｖ(ｔ０)＝ｓ′(ｔ０)，引例2中曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处切线斜率k=f′(x0).第9页

3.导数几何意义

由引例2知道，函数y=f(x)在点x=x0处导数f′(x0)，表示曲线y=f(x)上点M0(x0,y0)切线斜率，这就是导数几何意义.

如图２-3所表示，若切线倾斜角为α，则假如f′(x0)不存在，即斜率k=tanα不存在.当曲线y=f(x)在点M0处连续时，曲线y=f(x)在点M0处有垂直于x轴切线.

在工程技术上，经常要用到法线相关知识，把过切点且与切线垂直直线称为法线.第10页

依据导数几何意义，过曲线y=f(x)上点M0(x0,y0)切线方程为对应法线方程为当f′(x0)=0时，切线方程为y=y0，法线方程为x=x0.第11页

２.2初等函数求导法则1.导数基本公式

前一节由导数定义，求出了几个简单函数导数，但对于较复杂函数，用定义求导往往比较困难.为此，本节介绍导数基本公式、求导法则和求导方法，借助这些基本公式、法则和方法就能够方便地求出初等函数导数.全部基本初等函数导数基本公式以下：第12页

2.和、差、积、商求导法则

若函数u=u(x)和v=v(x)都在点x处可导，那么函数u(x)±v(x)，u(x)v(x)，(v(x)≠0)都在点x处可导，而且尤其地，当u(x)=C(Ｃ为常数)时，有［Ｃｖ(ｘ)］′＝Ｃｖ′(ｘ).第13页

3.复合函数导数

假如函数u=φ(x)在点x处可导，y=f(u)在对应点u=φ(x)处也可导，则复合函数y=f［φ(x)］在点x处可导，且

这个法则能够推广到两个以上中间变量情形，假如y=y(u)，u=u(v)，v=v(x)，且它们在各对应点处导数存在，则上述公式也叫复合函数求导链式法则.利用复合函数链式法则求导时，关键是将所给复合函数分解成若干个简单函数，而这些简单函数导数是可求.第14页

4.高阶导数

定义假如函数y=f(x)导数f′(x)仍可导，那么［f′(x)］′叫做函数y=f(x)二阶导数，记作y″，即也记作对应地，ｆ′(ｘ)为函数ｙ＝ｆ(ｘ)一阶导数.

普通地，函数y=f(x)n－1阶导数导数称为ｙ＝ｆ(ｘ)n阶导数，记作二阶及二阶以上导数称为高阶导数.第15页

2.3隐函数及偏导数1.隐函数导数

假如对于x值，经过F(x,y)=0都有确定y值与之对应，那么由方程F(x,y)=0，也就确定y是x函数.这种函数关系，隐藏在方程F(x,y)=