浙江专升本高数学研习题每日一练二.doc

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习题课十

一、选择题

1．设连续，则为（C）

（A）的一个原函数；（B）的所有原函数；

（C）的一个原函数；（D）的所有原函数。

2．若，则（B）

（A）；（B）；

（C）；（D）。

解：令，则有，从而，

两边求不定积分得。

3.若，，则（B）

（A）；（B）；（C）；（D）。

解：∵，∴，

又∵，∴。

二、解答题

1．求函数在上满足的一个原函数。

解：，，

令，由和，得。

∴当时，，

∵处处可导，∴处处连续，

在处，∵，

∴

在处，∵，∴，

综上所述。

注意：分段函数在求原函数时，必须在不同区间内分别求出原函数，然后根据原函数在整个定义域上的连续性确定各区间上的任意常数。

2．设且，求，进而求。

解：设，则，当时，

；当时，；

由，再由在处的连续性及，得

。

从而

3．已知曲线在任意点处的切线斜率为，且

的极小值为2，极大值为6，求。

解：，

，，令，得，，

∵，∴为极小值；

∵，∴为极大值。

把和代入，得

，∴。

4．在上连续，且对任意的正数a，b，积分与a无关，且，求。

解：设，

∵在上连续，且积分与，

∴，

在上式中令，得，，

∴，。

三、证明题

1．设在上连续，试证：存在，使得

证：∵，∴是的一个原函数。

∴，。

2．设在上可微，且，，试证：。

证法1：

(,)

。

证法2：

，

。

四、计算下列不定积分

1．

解：

2．

[解法1]：设，则，。

。

[解法2]：设，则有，

t1。

t

1

3．求

[解法1]（三角代换法）

令

[解法2]（换根代换法）

令

[解法3]（倒代换法）

令

[解法4]（凑微分法）

[解法5]（双曲代换法）

令

习题课十一

一、选择题

1．设连续，则（A）

（A）；（B）；（C）；（D）。

分析：被积函数中含有参变量x，要用换元法将它换出来才能求关于x的导数。

解：，

。

2．设连续，，则I的值（D）

（A）依赖于s和t；（B）依赖于s，t，x；

（C）依赖于t，不依赖于s；（D）依赖于s，不依赖于t。

解：∵，∴I的值依赖于s，不依赖于t。

二、填空题

1．定积分.

解：

。

2．.

解：

3．.

解：

三、解答题

1．求定积分。

解：

2．求定积分。

解：令，，

.

3．设，其中在的某邻域内可导，且，，求。

解：

4．已知两曲线与在点处的切线相同，写出此切线方程，并求极限。

解：由已知条件得，，

故所求切线方程为。

。

4．设，且，，求和。

解：，则，，

，，∴.

∴，

，，即，。

四、证明题

设，且，证明：

证明：当，，

，

2．设，

（1）证明；（2）求的最大值和最小值。

（1）证明：∵

，

∴是以为周期的周期函数，下面求在一个周期区间上的最大值和最小值。

（2），

令，得驻点，，

∵；

；

；

。

∴的最大值为，最小值为。

知在，且，又，

证明：。

证：

故。

4．设在区间上连续，为偶函数，且满足条件。

（1）证明：；

（2）利用（1）的结论计算。

证：（1）

∵

，

∴

。

解：（2）取，，，

在区间上连续，为偶函数，

且由，知。

令，得。

∴。

习题课十二

选择题

1.半圆形闸门的半径为R，将其垂直放入液体中，且直径与液面相齐。设液体的密度，若坐标原点取在圆心，x轴正向朝下，则闸门所受压力P为（C）.

（A）；（B）；

（C）；（D）。

2.如图，x轴上有一线密度为，长度为L的细杆，有一质量为m的质点到杆右端的距离为a，已知引力系数为k，则质点和细杆之间引力的大小为（A）

（A）；（B）；

（C）；（D）。

解：用微元法，在，其质量，则质点和这一小段细杆之间引力，，∴。故应选（A）。

3.双纽线所围成的区域面积可用定积分表示为（A）

（A）；（B）；（C）；（D）.

解：双纽线的极坐标方程为，

。

由对称性可知，所求面积为

。

二、填空题

1.如图，由曲线与两直线

及所围成的平面图形的面积为。

解：。

2.设曲线由确定，则该曲线对应于的弧长为。

解：，，，

。

3.函数在[]上的平均值.

解：

。

三、计算下列广义积分

1.

解:

2.

解法1:

解法2:

.

3..

解：是瑕点，令，则

。

四、解答题

求曲线，，，所围成的平面图形的面积S，并求

该平面图形绕y轴旋转一周所