2024年全国中学生数学联赛A卷试题（二试）含解析.docxVIP

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)

暨2024年全国高中数学联合竞赛

加试试题(A卷)

一.(本题满分40分)给定正整数r,求最大的实数C,使得存在一个公比

为r的实数等比数列{a),满足|a,|≥C对所有正整数nx

到与它最近整数的距离，)

二.(本题满分40分)如图，在凸四边形ABCD中，AC平分∠BAD,点E,F分别在边BC,CD上，满足EF||BD,分别延长FA,EA至点P,Q,使得过点A,B,P的圆以及过点A,D.Q的圆w?均与直线AC相切.证明：B,P,QD四点共圆.

(答题时嘴将图画在答卷纸上)

三，(本题满分50分)给定正整数n.在一个3×n的方格表上，由一些方格构成的集合S称为连通的,如果对S中任意两个不同的小方格A,B,存在整

数I≥2及S中1个方格A=C,C,…,C,=B,满足C,与C有公共边

(i=1,2,…,1-1).

求具有下述性质的最大整数K:若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合S,使得S中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K.

四.(本题满分50分)设A,B为正整数，S是一些正整数构成的一个集合，具有下述性质：

(1)对任意非负整数k,有A∈S;

(2)若正整数n∈S,则n的每个正约数均属于S:

(3)若m,nES,且m,n互素，则mn∈S:

(4)若n∈S,则An+B∈S.

证明：与B互素的所有正整数均属于S.

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加试(A卷)参考答案及评分标准

说明：

1.评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.

2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次.

一.(本题满分40分)给定正整数r.求最大的实数C,使得存在一个公比为r的实数等比数列{a,满足|al|≥C对所有正整数n成立.(x|表示实数x到与它最近整数的距离.)

解：情形1:r为奇数.

对任意实数x,显然有,故满足要求的C不超过

又取{a}的首项。,注意到对任意正整数n,均有r?1为奇数，因此这意味着满足要求.从而满足要求的C的最大值为

…………10分

情形2:r为偶数.

设r=2m(m∈N).对任意实数α,我们证明|a,|与|a?中必有一数不超过

,从而

事实上，设a?=k±8,其中k是与a,最近的整数(之一),且

注意到，对任意实数x及任意整数k,均有|x+k=|x|,以及||-x|=|x|.

若,则

若,则,即,此时

………30分

另一方面，取,则对任意正整数n,有,由二项式展开可,其中K为整数，故.这意味着满足要求.

从而满足要求的C的最大值为·

1

综上，当r为奇数时，所求C的最大值为

值为

当r为偶数时，所求C的最大

……40分

二.(本题满分40分)如图，在凸四边形ABCD中，AC平分∠BAD,点E,F分别在边BC,CD上，满足EFI|BD.分别延长FA,EA至点P,Q,使得过点A,B,P的圆w,及过点A,D,Q的圆w?均与直线AC相切.证明：B,P,Q,D四点共圆.

(答题时请将图画在答卷纸上)

证明：由圆w与AC相切知∠BPA=∠BAC=∠CAD∠CAF=180°-∠PAC,故BP,CA的延长线相交，记交点为L.

,则由EF||BD知.在线段AC上取点K,使

,则

KE||AB,KF||AD.……10分

由∠ABL=∠PAL=∠KAF,∠BAL=180°-∠BAC=180°-∠CAD=∠AKF,

可知△ABL∽△KAF,所以…………20分

同理，记DQ,CA的延长线交于点L,则

又由KE||AB,KF||AD知,即KE·AD=KF·AB.

所以AL=A