流体力学基本方程.ppt

3.3.2牛顿流体的本构方程将标量b的表达式代入应力张量与变形率张量线性关系式中，得取等式两边主对角线上三个分量之和，可得归并同类项后，得在静止状态下，，而且，因此，上式可以写成第31页，共88页，星期日，2025年，2月5日3.3.2牛顿流体的本构方程由于b1、b3均为常数，而且要求在静压力p0值为任意情况下均成立，则只有而这三个系数确定以后，就可得出应力张量与变形率张量之间的一般线性关系式第32页，共88页，星期日，2025年，2月5日3.3.2牛顿流体的本构方程对于非粘性流体，一点的压强在各个方向是相等的，此处引入平均压强的概念，即对于粘性流体来讲，类似地采用这样的平均法向应力，有如果待定常数b2记为λ，则通常称上式为广义牛顿内摩擦定律，λ称为膨胀粘性系数。第33页，共88页，星期日，2025年，2月5日3.3.2牛顿流体的本构方程如以ui和xi(i＝1,2,3)分别代替ux,uy,uz和x,y,z，则可以写出在直角坐标系中应力张量与变形率张量各分量之间的关系式第34页，共88页，星期日，2025年，2月5日3.3.2牛顿流体的本构方程对于不可压缩流体，则第35页，共88页，星期日，2025年，2月5日3.3.2牛顿流体的本构方程广义牛顿内摩擦定律建立了在一般情况下应力张量与变形率张量之间的关系，它是粘性流体力学的—个理论基础。虽然在推广的过程中采用了一些无法用实验验证的不很严格的假定，但是根据这一关系所得出的粘性流体力学方程组对许多问题的解，均被实验所证实。因此间接地证明了这些推广的可靠性。第36页，共88页，星期日，2025年，2月5日3.4粘性流体运动方程运动方程(动量方程)是动量守恒定律对于运动流体的表达式。在充满运动流体的空间中，任取一控制闭曲面A，其所包围的流体体积为V。根据动量守恒定律，该体积流体的动量变化率等于作用在该体积流体上的质量力和表面力之和。设单位质量流体的质量力为f，当质量力仅为重力时，f＝g。单位面积上的表面力为τn，对粘性流体来讲可以有切向分量与法向分量。作用在该流体上的质量力和表面力之和为而动量的变化率为第37页，共88页，星期日，2025年，2月5日3.4粘性流体运动方程根据动量定理有根据张量运算的高斯公式(体积积分与面积积分的关系)，上式右边可改写成式中为应力张量的散度。再根据随体导数的关系式这样，就有第38页，共88页，星期日，2025年，2月5日3.4粘性流体运动方程由于被积函数连续，且体积V是任意选取的，因此此即为粘性流体的运动微分方程式。在直角坐标系中可写成第39页，共88页，星期日，2025年，2月5日3.4粘性流体运动方程在质量力已知的情况下，对于不可压缩流体有12个未知量：3个速度分量及9个应力分量，而仅有4个方程(3个分量的动量方程和连续性方程)，不足以解12个未知数(至于可压缩流体虽然又多了一个未知量密度ρ，但可以多一个热力学方程，不影响上述分析)。因此，需要运用广义牛顿内摩擦定律，将应力张量用变形率张量来表示。第40页，共88页，星期日，2025年，2月5日3.4粘性流体运动方程广义牛顿内摩擦定律为所以这就是向量形式的运动微分方程式，在此方程式中则仅包括四个未知数：三个速度分量及一个压强p。由此也可以进一步体会到广义牛顿内摩擦定律在粘性流体力学中的重要意义。第41页，共88页，星期日，2025年，2月5日3.4粘性流体运动方程根据变形率张量的表达式，可以将上式等号右边的最后一项加以变换。为简单起见，限在直角坐标系中讨论。对于的第一分量为对于第三、第三个分量，也可以得到类似的结果，即第42页，共88页，星期日，2025年，2月5日3.4粘性流体运动方程因此，在直角坐标系中，粘性流体的运动微分方程式可写成第43页，共88页，星期日，2025年，2月5日3.4粘性流体运动方程对于不可压缩流体，，而且粘性系数μ可以近似地看作常数，因此向量形式的运动微分方程式