圆的极坐标方程.ppt

1.4圆的极坐标方程

1、求过点A(2,0)且垂直于极轴的直线的极坐标方程。解：如图所示，在所求直线l上任取一点P（ρ，θ），连结OP，则OP＝ρ，∠POA＝θ在Rt△POA中，由于OA/OP=cosθ，因此2/ρ＝cosθ,因此ρcosθ=2为所求直线的极坐标方程。θOxρP(ρ,θ)A(2,0)

探究1、圆心在极轴且过极点的圆如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a0)，你能用一种等式表达圆上任意一点的极坐标(?,?)满足的条件？xC(a,0)O

例：求圆心在C（a，0），半径为a的圆的极坐标方程。解：建立极坐标系如图所示，|OP|＝|OA|cos∠POA因此所求圆的极坐标方程为ρ＝2acosθ设P（ρ，θ）为圆上任意一点，由于OP⊥AP即ρ＝2acosθ|OA|=2a，∠POA＝θ则

跟踪演习1在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹.解设M(ρ，θ)是轨迹上任意一点.连接OM并延长交圆A于点P(ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cosθ，得ρ0＝8cosθ0.因此2ρ＝8cosθ，即ρ＝4cosθ.故所求轨迹方程是ρ＝4cosθ.它表达以(2,0)为圆心，2为半径的圆.

探究2：求圆心在C（r,π/2)、半径为r的圆的极坐标方程？解：如图所示，由题意可知，所求圆的圆心在垂直于极轴且位于极轴上方的射线上，而圆周通过极点。设圆与垂直于极轴的射线的另一交点为A，则A点的极坐标为（２r,π/2)。设圆上任意一点为P（ρ，θ），连结PA，则｜OP｜＝ρ，∠POx＝θ在Rt△POA中，由于cos∠POA=|OP|/|OA|，因此因此ρ＝2rsinθ为所求圆的极坐标方程。

A.ρ＝2sinθ B.ρ＝－2sinθC.ρ＝2cosθ D.ρ＝－2cosθ1234

答案A1234

解由题意知，圆通过极点O，OA为其一条直径，设M(ρ，θ)为圆上除点O，A以外的任意一点，则|OA|＝2r，连接AM，则OM⊥MA，在Rt△OAM中，|OM|＝|OA|cos∠AOM，要点一圆的极坐标方程

因此满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－2rsinθ.规律措施求轨迹方程时，我们常在三角形中运用正弦、余弦定义找到变量ρ，θ的关系.在圆的问题中，常常用到直角三角形中的边角关系.

解在圆上任取一点P(ρ，θ)，那么，在△AOP中，1234探究3、圆心与半径在任意位置

公式求下列圆的极坐标方程(１)中心在极点，半径为a；

(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；

(３)中心在(a,?/2)，半径为a；

(４)中心在Ｃ(?0,?０)，半径为r。?＝a?＝2acos??＝2asin??2+?02-2??0cos(?-?０)=r2

(1)求圆C的极坐标方程；解设M(ρ，θ)是圆C上任意一点，由余弦定理得|CM|2＝|OM|2＋|OC|2－2|OM||OC|·cos∠COM，

解设点Q为(ρ1，θ1)，点P为(ρ，θ)，

2.曲线的极坐标方程ρ＝4sinθ化成直角坐标方程为()A.x2＋(y＋2)2＝4 B.x2＋(y－2)2＝4C.(x－2)2＋y2＝4 D.(x＋2)2＋y2＝4解析由已知得ρ2＝4ρsinθ，∴x2＋y2＝4y，∴x2＋(y－2)2＝4.B12345678910111213

B12345678910111213在Rt△OMQ中，|OM|＝|OQ|·cos∠QOM圆ρ＝2cosθ的半径是.解析由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，即x2＋y2＝2x，因此圆的原则方程为(x－1)2＋y2＝1，半径为1.1

极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少练习2

练习3以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是C

2.常见曲线的极坐标方程2rcosθ

2rsinθ