2025版一轮高中总复习数学 (通用版)必刷题库 概率与统计.pdf

必刷大题26概率与统计

1.有甲、乙两个盒子，甲盒子中装有2个小球，乙盒子中装有4个小球，每次随机取一个盒子并从中取一个球.

（1）求甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球的概率；

（2）当其中一个盒子中的球被取完时，记另一个盒子恰剩下ξ个球，ξ的分布列与数学期望E（ξ）.

解：（1）甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球，意味着总共取了四次球，第四次取到的一定是甲盒中

21113

2

的球，前三次中有一次取到甲盒中的球，另外两次取的是乙盒中的球，所以P＝3（）××＝.

22216

（2）由题意知：ξ的可能取值为1，2，3，4，

当ξ＝1时，总共取了5次球，剩余的一个球可能在甲盒子中，也可能在乙盒子中，

若剩余的一个球在甲（乙）盒子中，则第5次取到的是乙（甲）盒子中的球，前4次有一次取到甲盒子中的球，

另外3次取到乙盒子中的球，

31311

55

所以P（ξ＝1）＝4（）＋4（）＝，

224

当ξ＝2时，总共取了4次球，剩余的2个球可能在甲盒子中，也可能在乙盒子中，

若剩余的2个球在甲盒子中，则4次均取到乙盒子中的球，

若剩余的2个球在乙盒子中，则第4次取到甲盒中的球，前3次有1次取到甲盒中的球，有2次取到乙盒子中的

41211

44

球，故P（ξ＝2）＝4（）＋3（）＝，

224

当ξ＝3时，总共取了3次球，剩余的3个球一定在乙盒子中，第3次一定取到的是甲盒中的球，前2次有1次取

111

3

到甲盒中的球，有1次取到乙盒子中的球，所以P（ξ＝3）＝2（）＝，

24

当ξ＝4时，总共取了2次球，剩余的4个球一定在乙盒子中，前2次均取到甲盒中的球，

211

2

故P（ξ＝4）＝2（）＝.

24

即ξ的分布列为：

ξ1234

1111

P

444