2025版一轮高中总复习数学 (通用版)必刷题库　空间几何体的表面积与体积.docx

PAGE1

必刷小题13空间几何体的表面积与体积

一、单项选择题

1.已知一个圆柱的轴截面为正方形，且它的侧面积为36π，则该圆柱的体积为（）

A.16π B.27π

C.36π D.54π

解析：D设圆柱底面半径为R，高为h，则h=2R，2πRh=36π，解得R=3，h

2.已知点A，B，C是球O的小圆O1上的三点，若AB＝BC＝CA＝33，OO1＝4，则球O的表面积为（）

A.64π B.100π

C.144π D.200π

解析：B因为AB＝BC＝CA＝33，所以△ABC是正三角形，O1是其外接圆圆心，所以△ABC的外接圆半径r＝O1A＝23×32×33＝3，球O的半径R＝OO12＋r2＝42＋32＝5，所以球O

3.拟柱体（所有顶点均在两个平行平面内的多面体）可以用辛普森公式V＝16h（S1＋4S0＋S2）求体积，其中h是高，S1是上底面面积，S2是下底面面积，S0是中截面（到上、下底面距离相等的截面）面积.如图所示，在五面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，EF＝1，且直线EF到底面ABCD的距离为2，则该五面体的体积为（

A.7

C.3 D.10

解析：D由题意得h＝2，S1＝0，S2＝2×2＝4，分别取BF，CF，DE，AE的中点G，H，K，J，顺次连接，得到截面GHKJ为中截面，且为长方形，边长为GJ＝KH＝1+22＝32，KJ＝HG＝1，所以S0＝32×1＝32，所以V＝16h（S1＋4S0＋S2）＝16×2×（0＋4×32

4.已知半径为5的球O被两平行的平面所截，两截面圆的半径分别为3和4，则分别以两截面为上下底的圆台的侧面积为（）

A.72π

B.352π

C.72π或352π

D.（72＋25）π或（352＋25）π

解析：C①当两截面圆在球心的同侧时，如图，设AB为大截面圆的直径，CD为小截面圆的直径，梯形ABDC为圆台的轴截面，由题意知，OA＝OD＝5，AO1＝4，CO2＝3，OO1＝OA2－AO12＝52－42＝3，OO2＝OC2－CO22＝52－32＝4，则圆台的高为O1O2＝1，AC＝（4－3）2＋12＝2，设圆台的侧面积为S，上底半径为r1，下底半径为r2，母线长为l，所以r1＝3，r2＝4

②当两截面圆在球心的异侧时，如图，设AB为大截面圆的直径，CD为小截面圆的直径，梯形ABDC为圆台的轴截面，由题意知，OA＝OC＝5，AO1＝4，CO2＝3，OO1＝OA2－AO12＝52－42＝3，OO2＝OC2－CO22＝52－32＝4，则圆台的高为O1O2＝7，AC＝（4－3）2＋72＝52，设圆台的侧面积为S，上底半径为r1，下底半径为r2，母线长为l，所以r1＝3，r2＝4，l＝52

5.如图，半径为R的球的两个内接圆锥有公共的底面.若两个圆锥的体积之和为球的体积的38，则这两个圆锥的高之差的绝对值为（

A.R

C.4R3

解析：D设球的球心为O，半径为R，体积为V，上面圆锥的高为h（h＜R），体积为V1，下面圆锥的高为H（H＞R），体积为V2，两个圆锥共用的底面的圆心为O1，半径为r.由球和圆锥的对称性可知h＋H＝2R，｜OO1｜＝H－R.

∵V1＋V2＝38V，∴13πr2h＋13πr2H＝38×43πR3，∴r2（h＋H）＝32R3.∵h＋H＝2R，∴r＝32R.∵OO1垂直于圆锥的底面，∴OO1垂直于底面的半径，由勾股定理可知R2＝r2＋｜OO1｜2，∴R2＝r2＋（H－R）2，∴H＝32R，∴h＝

6.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为（）

A.4＋42 B.4＋43

C.12 D.8＋42

解析：A连接A1B（图略）.因为AA1⊥底面ABC，则AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，

所以BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝22，BC＝2.又AB⊥BC，则AB＝2，则该三棱柱的侧面积为22×2＋2×2＝4＋42.

7.若正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，棱台的高为336a，则此正三棱台的侧面积为（

A.a2 B.12a

C.92a2 D.32

解析：C如图，设O1，O分别为上、下底面的中心，D，D1分别是AC，A1C1的中点，过D1作D1E⊥OD于点E.在直角梯形ODD1O1中，OD＝13×32×2a＝33a，O1D1＝13×32×a＝36a，∴DE＝OD－O1D1＝36a.在Rt△DED1中，D1E＝336a，则D1D＝36a2＋336a2＝336a2＋33

8.底面是等边三角形的三