课件：导数的应用——单调性与极值.pptVIP

导数的应用——单调性与极值

课程大纲导数概述导数的概念和定义，导数的几何意义，导数的运算性质导数与单调性导数与函数单调性的关系，单调性判定定理，函数的单调区间导数与极值导数与函数极值的关系，极值判定定理，极值点的求解方法

导数概述导数是微积分中的基本概念，它描述了函数在某一点处的变化率。在几何意义上，导数代表了函数曲线在该点处的切线的斜率。在物理意义上，导数代表了物体在某时刻的瞬时速度。导数是函数变化率的度量，在许多科学和工程领域都有着广泛的应用，例如求解最值、优化问题、物理量变化等。

导数与单调性1导数的正负函数在某点处的导数为正，则函数在该点附近单调递增2导数为零函数在某点处的导数为零，则函数在该点附近可能存在极值点3导数的负值函数在某点处的导数为负，则函数在该点附近单调递减

导数与最大值1极大值在函数的某个邻域内，当自变量的值小于或大于该点时，函数值都小于该点的函数值，该点的函数值即为极大值。2导数符号变化函数在极大值点处导数可能为0，也可能不存在，但导数符号从正变为负。3应用导数可以帮助我们找到函数的最大值，从而解决实际问题中的优化问题。

导数与最小值1最小值定义函数在某个区间上的最小值，是指该区间内所有函数值中最小的一个。2导数与最小值的关系当函数的导数在某个区间内始终大于零时，该函数在这个区间内单调递增，反之，当函数的导数在某个区间内始终小于零时，该函数在这个区间内单调递减。根据单调性的概念，我们可以利用导数来判断函数在某个区间内的最小值。3最小值求解步骤首先求出函数的导数，然后求出导数为零的点或导数不存在的点，最后将这些点以及区间的端点代入原函数，比较函数值的大小，即可求得最小值。

导数在优化中的应用最大化利润企业可以通过计算利润函数的导数，找到利润最大的生产规模和价格。最小化成本工厂可以通过计算成本函数的导数，找到最经济的生产方案，例如最优的原材料使用量。

例题1：求函数的极值步骤1：求函数的导数利用导数的定义或导数的运算法则求出函数的导数。步骤2：求导数为零的点令导数等于零，解方程得到导数为零的点，即函数的驻点。步骤3：判断驻点类型利用极值判定定理判断驻点是极大值点、极小值点，还是拐点。步骤4：求极值将极值点代入原函数，即可得到函数的极值。

例题2：求函数的最大值和最小值1导数为0求函数的极值点2端点值求函数在定义域端点的函数值3比较大小比较所有极值点和端点处的函数值通过比较所有极值点和端点处的函数值，我们可以确定函数的最大值和最小值。

例题3：用导数优化设计问题1问题描述某公司要设计一个长方形的包装盒，要求容积为1000立方厘米，如何设计包装盒的尺寸，使得材料用量最少？2建立模型设包装盒的长、宽、高分别为x，y，z，则材料用量S=2xy+2xz+2yz，目标是求S的最小值。3求解利用导数求S的极值，并验证极值为最小值，从而得到包装盒的最佳尺寸。

导数的几何意义导数的几何意义是函数曲线在某一点的切线的斜率。切线是与曲线在该点相切的直线，它的斜率代表了曲线在该点处的变化率。导数可以用来求函数曲线在某一点的切线方程，从而帮助我们理解函数的局部变化趋势。

导数的性质应用单调性：利用导数判断函数的单调递增或递减区间。极值：利用导数判断函数的极大值和极小值。凹凸性：利用导数判断函数的凹凸性，从而确定拐点。

导数的运算法则1和差法则两个函数的和或差的导数等于它们分别导数的和或差2积法则两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数3商法则两个函数的商的导数等于分母的平方乘以分子导数减去分子乘以分母导数

单调性判定定理递增如果导数大于零，则函数在该区间内是递增的。递减如果导数小于零，则函数在该区间内是递减的。常数如果导数等于零，则函数在该区间内是常数。

极值判定定理定义设函数f(x)在点x0处可导，且f(x0)=0，则:若f(x)在x0的左邻域内为正，在x0的右邻域内为负，则f(x)在x0处取得极大值。若f(x)在x0的左邻域内为负，在x0的右邻域内为正，则f(x)在x0处取得极小值。若f(x)在x0的邻域内不改变符号，则f(x)在x0处没有极值。应用利用极值判定定理，可以判断函数在驻点处是否取得极值，以及极值的类型。

函数最大值和最小值的求解极值判定利用导数判断函数的极大值和极小值。端点值比较比较函数在定义域端点处的函数值和极值。最大值和最小值确定函数在定义域上的最大值和最小值。

优化问题的求解1建立模型将实际问题转化为数学模型2求解模型运用导数方法求解模型3验证结果检验所得结果是否满足实际问题

应用领域：工程设计桥梁设计建筑结构优化汽车性能提升

应用领域：经济管理成本优化通过导数求函数的极值，企业可以找到最优生