2024年高考数学高考题和高考模拟题分项版汇编专题14不等式选讲文含解析.docxVIP

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专题14不等式选讲

1．【2024年高考全国Ⅰ卷文数】已知a，b，c为正数，且满意abc=1．证明：

（1）；

（2）．

【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】（1）因为，又，故有

．

所以．

（2）因为为正数且，故有

=24．

所以．

【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用实力，须要留意的是在利用基本不等式时需留意取等条件能否成立．

2．【2024年高考全国Ⅱ卷文数】已知

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时，，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）当a=1时，．

当时，；当时，．

所以，不等式的解集为．

（2）因为，所以．

当，时，．

所以，的取值范围是．

【名师点睛】本题主要考查含肯定值的不等式，熟记分类探讨的方法求解即可，属于常考题型．

3．【2024年高考全国Ⅲ卷文数】设，且．

（1）求的最小值；

（2）若成立，证明：或．

【答案】（1）；（2）见详解．

【解析】（1）由于

，

故由已知得，

当且仅当x=，y=–，时等号成立．

所以的最小值为．

（2）由于

，

故由已知，

当且仅当，，时等号成立．

因此的最小值为．

由题设知，解得或．

【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型．

4．【2024年高考江苏卷数学】设，解不等式．

【答案】．

【解析】当x0时，原不等式可化为，解得x；

当0≤x≤时，原不等式可化为x+1–2x2，即x–1，无解；

当x时，原不等式可化为x+2x–12，解得x1．

综上，原不等式的解集为．

【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础学问，考查运算求解和推理论证实力．

5．【重庆西南高校附属中学校2025届高三第十次月考数学】设函数．

（1）解不等式；

（2）若对于随意，都存在，使得成立，试求实数的取值范围．

【答案】（1）或；（2）

【解析】（1）不等式等价于或或

解得或．

（2）对随意，都存在，使得成立，即的值域包含的值域．

，由图可得时，，所以的值域为．

，当且仅当与异号时取等号，

所以的值域为，

由题，所以，解得．

【名师点睛】本题考查肯定值函数和用肯定值不等式求肯定值函数中参数的范围，是常见考题．

6．【山东省郓城一中等学校2025届高三第三次模拟考试数学】已知函数，不等式的解集为．

（1）求实数a的值；

（2）设，若存在，使成立，求实数t的取值范围．

【答案】（1）1；（2）．

【解析】（1）由得－4≤≤4，即－2≤≤6，

当0时，，所以，解得＝1；

当0时，，所以，无解．

所以实数的值为1．

（2）由已知＝|x＋1|＋|x－2|＝，

不等式g（x）－tx≤2转化成g（x）≤tx＋2，

由题意知函数的图象与直线y＝tx＋2相交，作出对应图象，

由图得，当t0时，t≤kAM；当t0时，t≥kBM，

又因为kAM＝－1，，

所以t≤－1或，

即t∈（－∞，－1]∪[，＋∞）．

【名师点睛】本题主要考查了肯定值不等式的解法及分类思想、方程思想，还考查了思想结合思想及转化实力，考查了作图实力及计算实力，属于中档题．

7．【安徽省合肥市2025届高三第一次教学质量检测数学】设函数．

（1）若，求实数的取值范围；

（2）设，若的最小值为，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），即

或，

∴实数的取值范围是．

（2）∵，∴，∴，

易知函数在单调递减，在单调递增，

∴．

∴，解得．

【名师点睛】本道题考查了含肯定值不等式的解法，考查了结合单调性计算函数最值，关键得到函数解析式，难度中等．

8．【河南省中原名校（即豫南九校）2025届高三第六次质量考评理科数学】已知函数．

（1）若的最小值为1，求实数的值；

（2）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围．

【答案】（1）或4．（2）．

【解析】（1）当时，，

因为的最小值为3，所以，解得或4．

（2）当时，即，

当时，，即，

因为不等式的解集包含，所以且，

即，故实数的取值范围是．

【名师点睛】本题考查不等式的解法及不等式的性质，考查转化思想以及计算实力．

9．【河南省顶级名校2025届高三质量测评数学】已知函数．

（1）解不等式；

（2）若，对，使成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）不等式等价于或或，

解得或或，

所以不等式的解集为．

（2）由知，当时，，

，

当且仅当时取等号，

所以，解得．故实数的取值范围是．

【名师点睛】本题考查方程有解问题，考查不等式的解法，考查转化思想以及计算实力．

10．【吉林省吉大附中2025届高三第四次模拟考试数学（理）试卷】已知函数．

（1）当时，解不等式；

（2）若关于x的不等式的解集为，求证：．

【答案】（1）或（2）见解析

【解析】（