2025年春北师版数学八年级下册教学课件 第1章 1 等腰三角形 第1课时 全等三角形和等腰三角形.ppt

第1章三角形的证明1等腰三角形第1课时全等三角形和等腰三角形北师版八年级数学（下）导入新课想一想我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？探究新知探究已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.求证：△ABC≌△DEF.ABCDEF三角形全等的性质证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，ABCDEF∴∠C=180°－（∠A+∠B），∠F=180°－（∠D+∠E），∵∠A=∠D，∠B=∠E（已知）.∴∠C=∠F（等量代换）.∵BC=EF（已知）.∴△ABC≌△DEF（ASA）.∠D+∠E+∠F=180°(三角形内角和等于180°).定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（AAS）归纳总结根据全等三角形的定义，我们可以得到全等三角形的对应边相等、对应角相等.探究新知探究等腰三角形的性质1.你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?推论:定理:等腰三角形的两个底角相等.等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线底边上的高互相重合(三线合一).ABC顶角底角底角腰腰底边ABC（B）定理等腰三角形的两底角相等.这一定理可以简述为：等边对等角.折纸的办法回忆等腰三角形性质应用举例已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABC如图，取BC的中点D，连接AD.∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.证法一：DABCD证法二：如图，作△ABC顶角∠A的角平分线AD.在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SAS）.∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.证法三：ABC在△ABC和△ACB中，∵AB=AC，∠A=∠A，AC=AB，∴△ABC≌△ACB（SAS）.∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.ABCD在图中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？想一想推论等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.可分解成下面三个方面来理解：1.等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的中线，又是底边上的高。∵AB＝AC，∠1＝∠2（已知）∴BD＝DC，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）ABCD122.等腰三角形的底边上中线，既是底边上的高，又是顶角平分线。∵AB＝ACBD＝DC（已知）∴AD⊥BC∠1＝∠2（等腰三角形三线合一）ABCD123.等腰三角形的底边上的高，既是底边上的中线，又是顶角平分线。∵AB＝ACAD⊥BC（已知）∴BD＝DC∠1＝∠2（等腰三角形三线合一）ABCD12例1如图，已知∠E＝∠F，∠ECA＝∠FBD，AB＝CD.求证：AE＝DF.【方法指导】要证明AE＝DF，可先证AE和DF所在的两个三角形全等，即证△ACE≌△DBF，从而转化为寻找使△ACE≌△DBF成立的条件，然后在证得两个三角形全等后再利用全等三角形的对应边相等的性质即可得到AE＝DF.应用举例ADBECF证明：∵AB＝CD，ADBECF∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝DB.在△ACE和△DBF中，∵∠E＝∠F，∠ECA＝∠FBD，AC＝DB，∴△ACE≌△DBF(AAS)，∴AE＝DF(全等三角形的对应边相等)．例2如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．【分析】利用等腰三角形的性质定理，等边对等角求△ABC各角度数．ABCD解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD.设∠A＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，∴∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°.