2025年春北师版数学八年级下册教学课件 第4章 3 公式法 第2课时 运用完全平方公式因式分解.ppt

*第4章因式分解3公式法第1课时运用完全平方公式因式分解北师版八年级数学（下）导入新课1．把下列各式因式分解：(1)4a2－9b2；(2)ax4－ax2.2．你能用前面学过的方法把多项式x2＋8x＋16因式分解吗？解：(1)原式＝(2a＋3b)(2a－3b)；(2)原式＝ax2(x＋1)(x－1).3．填空：(1)(x＋2)2＝_______________；(2)(2x－y)2＝________________；反过来：(1)_______________＝(x＋2)2；(2)________________＝(2x－y)2.x2＋4x＋44x2－4xy＋y2x2＋4x＋44x2－4xy＋y2以上运算，哪些是整式乘法，哪些是因式分解？你能说明整式乘法与因式分解的关系吗？探究新知探究在下面的等式中，我们用到了整式乘法中的哪个公式？(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2；a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2.在a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2中，形如a2±2ab＋b2的式子称为完全平方式．归纳总结由因式分解与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法．下列各式能用完全平方公式分解因式吗？如果能，把它分解出来；如果不能，请说明理由．(1)a2－4a＋4；(2)x2＋4xy＋4y2＋16；(3)4a2＋2ab＋b2；(4)a2－ab＋b2；(5)x2＋6x＋9.议一议解：(1)(5)能用完全平方公式分解因式；(2)(3)(4)不能用完全平方公式分解因式．1．必须是三项式(或可以看成三项的)；归纳总结完全平方式的特征：2．有两个同号的平方项；3．有一个乘积项(等于平方项底数积的±2倍)．简记口诀：头平方，尾平方，乘积2倍在中央a2＋6a＋9＝a2＋2×____×____＋(____)2＝(________)2；a2－12a＋36＝a2－2×____×____＋(____)2＝(________)2；m2＋8m＋16＝m2＋2×____×____＋(____)2＝(________)2；x2－4xy＋4y2＝x2－2×____×____＋(_____)2＝(_________)2.练一练a33a＋3a66a－6m44m＋4x2y2yx－2y用完全平方公式法因式分解的关键是：判断一个多项式是不是一个完全平方式．左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和(或差)的平方，从而达到因式分解的目的．归纳应用举例【例1】把下列完全平方式因式分解：(1)x2＋14x＋49；【分析】在(1)中49＝72，14x＝2·x·7，所以x2＋14x＋49是一个完全平方式，即：x2＋14x＋49＝x2＋2×x×7＋72＝(x＋7)2头2＋2·头·尾＋尾2＝(头＋尾)2解：原式＝(x＋7)2；【例1】把下列完全平方式因式分解：(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.【分析】在(2)中多项式中的两个平方项分别是(m＋n)2和32，另一项6(m＋n)＝2·(m＋n)·3，符合完全平方式的形式，这里“m＋n”相当于完全平方式中的a，“3”相当于完全平方式中的b，如果将(m＋n)看作一个整体，即：(m＋n)2－6(m＋n)＋9＝(m＋n)2－2×(m＋n)×3＋32＝[(m＋n)－3]2头2－2·头·尾＋尾2＝(头－尾)2解：原式＝[(m＋n)－3]2＝(m＋n－3)2.【例2】将下列各式因式分解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2；(2)－x2－4y2＋4xy.【分析】在(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解；(2)中如果把多项式的各项均提出一个负号，那么括号内的多项式就符合完全平方式的结构特点，从而可以运用完全平方公式法因式分解．解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2＝3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2；解：