切比雪夫不等式及切比雪夫大数定律.pptx

电子科技大学概率论与数理统计MOOC第5章知识点名称：切比雪夫不等式及切比雪夫大数定律主讲人：秦旭

一、回顾实验者抛掷次数n出现正面次数mn/m德·摩根204810610.5181德·摩根204810480.5117德·摩根204810170.4966德·摩根204810390.5073蒲 丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维 尼30000149940.4998频率稳定于概率12niniX )?1nE(X1n?i?1?i?1?切比雪夫大数定律

limP{|Xn ?X|?ε}?1n??或切比雪夫大数定律二、依概率收敛定义5.1.1 设Xn,n=1,2…是一个随机变量序列,X是一个随机变量,若对于任意的?＞0,有lim P{|Xn ? X |?ε}?0n??称随机变量序列{Xn}依概率收敛于X，记为nn? X, (P)X ??P? Xn??或者 lim X

切比雪夫大数定律注1 在定义中, 随机变量X也可以是常数a, 称随机变量序列{Xn}依概率收敛于常数a.注2 随机变量序列依概率收敛不同于微积分中数列或函数列的收敛性.结论随机变量序列{Xn}依概率收敛于X，指当n足够大时, 有足够大的概率保证Xn任意接近于X, 但Xn仍然有可能与X相差很大.

切比雪夫大数定律三、大数定律设Xn，n=1,2…是随机变量序列，其数学期望都存在，若对于任意的?＞0，有11?nnlimP{|n?E(Xi)|?ε}?1ni?1 i?1?Xin??称随机变量序列{Xn}服从大数定律.大数定律的概率意义：{Xk}，k=1,2…的前n项算术平均将紧密地聚集在其数学期望的附近.

切比雪夫大数定律四、切比雪夫大数定律定理5.1.1（切比雪夫大数定律）设Xk，k=1,2…是相互独立的随机变量序列,其数学期望和方差都存在，且存在常数C,使得D(Xk)C, k=1,2,…则随机变量序列{Xk},k=1,2…服从大数定律.

切比雪夫大数定律证明n nni?1 ni?11 1E[?Xi]? ?E(Xi)nC Cnnini?n n2?i?12?i?111nD(X)?X]?D[根据切比雪夫不等式，对于任意的?＞0，有nniiE(X )|?ε}i?1i?1n?1?n??P{|1?X1ε2nniX )D(?i?1?1??1, (asn??).?1?Cnε2

切比雪夫大数定律五、切比雪夫(Chebyshev)不等式设随机变量X的数学期望E(X)和方差D(X)都存在,则对于任意的?0,有ε2P{|X?E(X)|?ε} ? D(X)ε2或者 P{|X?E(X)|?ε} ? 1?D(X).注：1）估计值是粗略的；适用于方差存在的任何随机变量进一步说明了方差的意义

?fX(x)dx{x:|x?E(X)|?ε}P{|X?E(X)|?ε}?切比雪夫大数定律切比雪夫不等式的证明设随机变量X的概率密度为fX(x),则??{x:|x?E(X)|?ε}fX(x)dxε2|x?E(X)|2?????εX(x)dx[x?E(X)] f22?1ε2? D(X)

切比雪夫大数定律小结： 切比雪夫不等式描述的是方差存在的随机变量落在以数学期望为中心的对称区间内的概率的粗略估计。切比雪夫不等式可用于概率计算及大数定律的证明大数定律的概率意义：{Xk}，k=1,2…的前n项算术平均将紧密地聚集在其数学期望的附近.（依概率收敛）切比雪夫大数定律：前提条件（独立，方差一致有界）

切比雪夫大数定律思考：利用切比雪夫大数定律证明：泊松大数定律设Xk，k=1,2…是相互独立的随机变量序列,P{Xn?1}?pn,P{Xn?0}?1?pn?qn.则随机变量序列{Xk},k=1,2…服从大数定律.切比雪夫大数定律的成立前提“独立”可否换成“不相关”？

切比雪夫大数定律思考：（3）试用切比雪夫不等式证明下列不等式?a?aax? e2)21dx?(1?2π12