江西省南昌市2024-2025学年高三上学期开学摸底测试数学（解析版）.docx

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2025届高三摸底测试

数学试卷

一?单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.

1.已知，则（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据对数运算求得正确答案.

【详解】依题意，，所以.

故选：D

2.已知椭圆的右焦点为，则上满足的点有（）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】求出点的坐标，由求出点的轨迹方程，与椭圆方程联立求解判断即可.

【详解】椭圆右焦点为，设，由，得，

由消去得，，而，解得，

当时，对应的值有2个，所以上满足的点有2个.

故选：B

3.展开式中项的系数是（）

A. B.40 C. D.80

【答案】A

【解析】

【分析】利用二项式展开式的通项求解即可.

【详解】的通项是

令则展开式中项的系数为

故选：A.

4.已知集合，若为单元素集合时，则（）

A. B.

C.或 D.或

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可得两集合组成的方程组只有唯一解，再结合方程的性质以及判别式求解即可；

【详解】因为集合，若为单元素集合，

则方程组只有唯一解，

所以，整理可得，

当时，方程变为，此时，符合题意；

当时，，

所以或，

故选：C.

5.算术基本定理也称素因数分解定理，它是这样描述的：任何一个大于1的自然数，可以唯一分解成有限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么这个乘积形式是唯一的.记（其中是素数，，是正整数），这样的分解称为自然数的标准素数分解式，则60的标准素数分解式是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

分析】由算术基本定理直接分解即可.

【详解】

故选:D

6.已知正四棱锥所有的棱长均为2，该正四棱锥的内接正四棱柱的下底面在正四棱锥的底面上，且上底面的四个顶点分别在正四棱锥的四条侧棱上，则该正四棱柱体积的最大值为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】设正四棱柱的底面边长为，高为，由相似可得，代入正四棱柱的体积公式得，利用导数求出最大值即可.

【详解】设正四棱柱的底面边长为，高为，

则正四棱柱的底面正方形对角线长为，

正四棱锥所有的棱长均为2，则正四棱锥底面对角线的一半为，

则正四棱锥的高为，

则由相似得，

解得，

所以正四棱柱的体积，

，

当时，，

当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

当时，.

故选：.

7.如图所示，将函数的图象向右平移得到的图象，其中和分别是图象上相邻的最高点和最低点，点分别是fx,gx图象的一个对称中心，若，则（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据平移关系可得，进而根据面积公式可得，利用勾股定理以及周期关系即可求解，进而可求解.

【详解】将函数的图象向右平移个单位得的图象，

由于分别是图象的一个对称中心，结合图象可知：,

,故，

由于所以，

进而可得,故，解得，，

故，

故选：D

8.已知平面向量满足，则的最小值为（）

A.1 B. C.2 D.3

【答案】D

【解析】

【分析】在平面直角坐标系中，设，，，根据平面向量数量积的坐标运算可得出，的值，以及的值，再利用平面向量的模长公式以及基本不等式可求得的最小值.

【详解】在平面直角坐标系中，设，，，

因，，，

所以，

当且仅当时，等号成立，

因此，的最小值为.

故选：D.

二?多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知虚数是方程的两个不同的根，则下列说法正确的有（）

A. B.

C. D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】A选项，利用立方差公式得到为的两个根，故A正确；B选项，计算出的两个根，计算出B错误；C选项，由韦达定理得到C正确；D选项，利用模长计算出D正确.

【详解】A选项，，

令，其中，

由于为虚数，故为的两个根，

则，A正确；

B选项，的两根为，

若，，

则，B错误；

C选项，由韦达定理得，C正确；

D选项，由B选项，或，均有，D正确；

故选：ACD

10.四叶草又称“幸运草”，有一种说法是：第一片叶子代表希望?第二片叶子表示信心?第三片叶子表示爱情?第四片叶子表示幸运.在平面直角坐标系中，“四叶草形”曲线的方程为，则下列关于曲线的描述正确的有（）

A.其图象是中心对称图形

B.其图象只有2条对称轴

C.其图象绕坐标原点旋转可以重合

D.其图象上任意两点的距离的最大值为

【答案】AC

【解析】

【分析】根据曲线