高三数学--平面向量专题突破.docVIP

直利教育2015年春季

名师培优一对一教案

第1讲

平面向量专题

一、向量的有关概念及表示方法

向量：既有大小又有方向的量。向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：几何表示法，；坐标表示法。

向量的模：向量的大小即向量的模〔长度〕，如的模分别记作||和。

注：向量不能比拟大小，但向量的模可以比拟大小。

几类特殊向量

零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行，

零向量＝｜｜＝0。由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行〔共线〕的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。〔注意与0的区别〕

单位向量：模为1个单位长度的向量，向量为单位向量。将一个向量除以它的模即得到单位向量，如的单位向量为：

平行向量〔共线向量〕：方向相同或相反的非零向量，称为平行向量。记作∥。

规定：与任何向量平等，

任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。

〔4〕相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。记作。

关于相反向量有：①零向量的相反向量仍是零向量，②=；

③；④假设、是互为相反向量，那么=,=,+=。

〔5〕相等向量：长度相等且方向相同的向量。记为。相等向量经过平移后总可以重合。

二、向量的线性运算

1.向量加法

〔1〕定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法

设，那么+==。

规定：；

〔2〕向量加法的法那么—“三角形法那么”与“平行四边形法那么”

用平行四边形法那么时，两个向量是要共始点的，和向量是始点与向量的始点重合的那条对角线。

三角形法那么的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和。

注：当两个向量的起点公共时，用平行四边形法那么；当两向量是首尾连接时，用三角形法那么。

向量加法的三角形法那么可推广至多个向量相加：，但这时必须“首尾相连”。

〔3〕向量加法的运算律：

①交换律：②结合律：

2.法向量的减

定义：假设那么向量叫做与的差，记为。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

向量减法的法那么—“三角形法那么”与“平行四边形法那么”

BC三角形法那么：当有共同起点时，表示为从减向量的终点指向被减向量的终点的向量。

B

C

平行四边形法那么：两个向量是要共始点的，差向量是如下图的对角线。设那么-=.

3.实数与向量的积

定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：

；

当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的。

数乘向量的运算律

①；②；③。

向量共线定理

定理：假设与是两个非零向量，那么共线有且只有一个实数，使得，即

推论：假设与是两个非零向量，那么共线存在两个均不为零的实数，使得，

应用：可以证明三点共线：三点共线。

四、平面向量的根本定理

定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：。我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

注意：①要平面内的两个向量不共线，都可以作为一组基底，②当用基底写成时，称之为向量的分解，③当假设与是两个非零向量，那么共线有且只有一个实数，使得时，称为向量的正交分解。

应用：

①证明向量共面：假设不共线，那么与共面的充要条件是存在有序实数对，使

②证明四点共面：假设不共线，存在实数对使四点共面，

③证明三点共线：假设不共线，存在实数对使三点共线。

五、平面向量的坐标表示与运算

平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，由平面向量的根本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作的横坐标，y叫做作纵坐标。规定：①，②相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；

③向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关

平面向量的坐标运算：

①假设，那么；②假设，那么；③假设=(x,y)，那么=(x,y)；

④假设，那么；⑤假设，那么

六、线段的定比分点从标公式

设直线上有一条有向线段和一个不同于的动点P，假设,即,那么称点P为有向线段的定比分点，且称P分有向线段成定比。

设，那么假设，得到中点坐标

七、几个重要结论

1.，

2.假设为的重心。

根本概念及线性运算

1.【四川省资阳市高20