线性代数课件同济版-(第1章)-行列式.pptVIP

即行列式等于它的第一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和.二、行列式按行（列）展开法则定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和例如按第二行展开四阶降为三阶三阶可继续降为二阶，也可用对角线法则计算二、行列式按行（列）展开法则定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和例如按第二行展开按第四列展开000①按零多的行或列展开(选定某一行或列后，将元素尽可能多地通过行列式的性质化为零).②零一样多，找边.③边上零一样多，找非零元在角上的行或列.展开原则：例题(P12例7续)练习P214(1)例题(考研)按第四行展开或第一列范德蒙德(Vandermonde)行列式如表示连乘例题(P18例12)如表示连乘练习P225(2)推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即分析与中相同将第2行换成系数定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即综上所述，有同理可得设,的元的余子式和代数余子式依次记作和，求及例题P20例13解：将第1行换成系数※解：题目将第1列换成系数练习行列式第2行元素的代数余子式之和为（）0计算行列式常用方法：(1)利用定义；(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式；(3)利用按行（列）展开法则降阶.三、小结对于n个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.定义当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素组成一个逆序.例如在排列32514中，32514逆序逆序逆序思考题：还能找到其它逆序吗？答：2和1，3和1也构成逆序.定义排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.记为t奇排列：逆序数为奇数的排列.偶排列：逆序数为偶数的排列.思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数等于零，因而是偶排列.例1：求排列32514的逆序数.解：练习：求排列453162的逆序数.解：计算排列的逆序数3前面比3大的数2前面比2大的数……以此往后推定义在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对换，叫做相邻对换．例如二、对换§3n阶行列式的定义一、概念的引入规律：三阶行列式共有6项，即3!项．每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．每一项可以写成（正负号除外），其中是1、2、3的某个排列.当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号.二、n阶行列式的定义n阶行列式共有n!项．每一项都是位于不同行不同列的n个元素的乘积．每一项可以写成（正负号除外），其中是1,2,…,n的某个排列.当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号.简记作，其中为行列式D的(i,j)元思考题：成立吗？答：符号可以有两种理解：若理解成绝对值，则；若理解成一阶行列式，则.注意：当n=1时，一阶行列式|a|=a，注意不要与绝对值的记号相混淆.例如：一阶行列式.另：四阶及以上行列式不适用于对角线法则.例1：写出四阶行列式中含有因子的项.解：和其中例2：计算行列式对角行列式反对角行列式上三角行列式下三角行列式四个结论：(1)对角行列式(2)反对角行列式(3)上三角形行列式（主对角线下侧元素都为0）(4)下三角形行列式（主对角线上侧元素都为0）§4行列式的性质一、行列式的性质行列式称为行列式的转置行列式.记行列式与它的转置行列式相等,即.行列式中行与列具有同等的地位,即行有的性质列也有.如性质1性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.如即推论如果行列式有两行(