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2024届吉林省汪清县六中高三下第一次测试数学试题

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点为抛物线上任意一点的平分线与轴交于，则的最大值为

A． B． C． D．

2．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（）

A．8 B． C． D．

3．在直角中，，，，若，则（）

A． B． C． D．

4．已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（）

A． B． C． D．

5．已知双曲线满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线的焦点F重合；②双曲线E与过点的幂函数的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（）

A． B． C． D．

6．如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）

A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省．

B．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长．

C．2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个

D．去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元．

7．设，点，，，，设对一切都有不等式成立，则正整数的最小值为（）

A． B． C． D．

8．已知等差数列的公差为，前项和为，，，为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为，若对任意的恒成立，则实数（）.

A．6 B．5 C．4 D．3

9．函数在上单调递减的充要条件是（）

A． B． C． D．

10．已知中内角所对应的边依次为，若，则的面积为（）

A． B． C． D．

11．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误的是（）

A．甲得分的平均数比乙大 B．甲得分的极差比乙大

C．甲得分的方差比乙小 D．甲得分的中位数和乙相等

12．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（）

A． B．

C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知数列的前项和且，设，则的值等于_______________.

14．函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是_____.

15．为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间的一等品，在区间和的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________．

16．已知函数，若，则___________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在中，角的对边分别为，且，．

（1）求的值；

（2）若求的面积．

18．（12分）在中，角的对边分别为，且.

（1）求角的大小；

（2）已知外接圆半径,求的周长.

19．（12分）已知函数.

（1）设，求函数的单调区间，并证明函数有唯一零点.

（2）若函数在区间上不单调，证明：.

20．（12分）某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示,该封闭区域由以为圆心的半圆及直径围成．在此区域内原有一个以为直径、为圆心的半圆形展示区,该广告商欲在此基础上,将其改建成一个凸四边形的展示区,其中、分别在半圆与半圆的圆弧上,且与半圆相切于点．已知长为40米,设为．（上述图形均视作在同一平面内）

（1）记四边形的周长为,求的表达式;

（2）要使改建成的展示区的面积最大,求的值．

21．（12分）已知函数，直线是曲线在处的切线．

（1）求证：无论实数取何值，直线恒过定点，并求出该定点的坐标；

（2）若直线经过点，试判断函数的零点个数并证明．

22．（10分）已知矩阵的一个特征值为4，求矩阵A的逆矩阵.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，，

求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解．

【详解】

解：由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x＝?1，

过点P作PM垂直于准线，M为垂足，

由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|＝x＋1，

记∠KPF的平分线与轴交于

根据角平分线定理可得，

，

当时，，

当时，，

，

综上：．

故选：