第27届中国香港数学奥林匹克试题.docxVIP

4.3第27届中国香港数学奥林匹克87

4.3第27届中国香港数学奥林匹克

(2024年12月28日14:00—17:00)

①.求所有系数为整数的多项式P(z),使得存在系数为整数的多项式Q(x)和R(z),满足degP=degQ及

P(x)Q(x)=(x2-1)R(x)+1.

(koopakoo)

884.香港(HONGKONG)

②.设m和n为正整数，我们将一些骑士放在一个m×n棋盘的方格中，使得每个方格最多只有一个骑士.骑士可以按照以下其中一种方式移动(但不能离开棋盘):

(1)向左方或右方移动两格，并向上或向下移动一格；

(2)向上方或下方移动两格，并向左或向右移动一格.

若一个骑士进行一次完整移动后(即完成(1)或(2))可以到达另一个骑士的方格中，那么它就可以攻击该骑士.对于任意的m和n,我们最多可在棋盘上放置多少个骑士，使得没有骑士能攻击其他骑士?

(TakWingChing)

4.3第27届中国香港数学奥林匹克89

3.求所有函数f:N+N+,使得对任意m,n∈N+,都有

f(f(m))+mnf|(m)f(n)2-m.

这里N+表示所有正整数组成的集合

904.香港(HONGKONG)

④.设ABCDE是凸五边形，使得AB=CD及EA=EB=EC=ED,已知线段AD上

存在一点O,使得OA=0C=OE.线段BD与线段AC及OC分别相交于F及G,射线

EG和DC相交于H.设M为BF的中点.求证：D,E,M,H四点共圆.

(NgHokLai)