2025北京四中高二（上）期末数学试卷含答案.docx

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2025北京四中高二（上）期末

数学

（试卷满分150分考试时间120分钟）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）

1.若直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（）

A. B. C. D.

2.双曲线的渐近线方程为（）

A. B.

C. D.

3.以点为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程是（）

A. B.

C. D.

4.在的展开式中，常数项为（）

A.15 B.16 C.180 D.240

5.如图，在四面体中，E，F分别满，，，设，，，则（）

A. B. C. D.

6.已知抛物线（），过其焦点且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为1，则该抛物线的准线方程为（）

A. B. C. D.

7.甲?乙?丙?丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间,甲同学不与老师相邻,乙同学与老师相邻,则不同站法种数为

A.24 B.12 C.8 D.6

8.如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为棱AB，BC的中点，则下列结论正确的是（）

A.平面 B.平面

C.与MN成角为60° D.点B到平面的距离为

9.若，是椭圆C：（）的左、右焦点，P为椭圆C上一点（不是顶点），点I为的内心，若的面积是面积的3倍，则椭圆C的离心率为（）

A. B. C. D.

10.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某地春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为3的圆，圆心到伞柄底端距离为3，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，该地的阳光与地面夹角为60°），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的焦距为（）

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）

11.已知直线：与直线：平行，那么__________.

12.圆C：的圆心坐标为___________，圆C的经过点的最短弦长为__________.

13.若，则__________，__________.（用数字作答）

14.双曲线W：（）的顶点分别为，，焦点为，.若，是椭圆E：（）的焦点，，是椭圆E的顶点.P是双曲线W与椭圆E的一个公共点，且满足，则双曲线W的离心率为__________.

15.如图，棱长为2的正方体中，M，N分别是棱AB，BC的中点，点P在对角线上运动.则当______________时，的面积最小，此时由P，M，N三点确定的平面截正方体所得截面图形的周长为__________.

三、解答题（本大题共6小题，共85分.）

16.从3名男同学和5名女同学中选择4位同学去参加志愿者活动.

（1）共有多少种不同的选法？

（2）既有男生又有女生的选法有多少种？

17.已知抛物线W：（）经过点.

（1）求抛物线W的方程；

（2）经过点的直线l与抛物线W相交于M，N两点，O为坐标原点，求面积的最小值.

18.如图，直三棱柱中，，D为的中点.请从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得三棱柱存在且唯一.

条件①：；

条件②：三棱柱的体积为4；

条件③：的面积为.

（1）求点A到平面的距离；

（2）求平面与平面所成角的余弦值.

注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分.

19.如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面，.M，N分别为AB，PC的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）在棱PA上是否存在一点E，使得直线DE与平面所成角为.若存在，确定点E的位置，若不存在，说明理由.

20.已知椭圆E：（）的右顶点为，离心率为.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设O为原点，过点（）与x轴不重合的直线l交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB交直线于点M.记直线OM，AC的斜率分别为，.若，求实数t的值.

21.已知正整数，集合.对于集合S中的任意元素和，记，并记.

（1）当时，若，，求和的值；

（2）当时，集合S中的元素，，…，，，，…，满足：①，，…，两两不同；②，，…，两两不同.证明：存在，使得；

（3）当时，若，，，，，其中.证明：.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）

1.【答案】D

【分析】设直线l的倾斜角为，先求出直线的斜率，再由，即可得出答案.

【详解】设直线l的倾斜角为，，

直线l经过点，，则