2025版一轮高中总复习数学 (通用版)必刷题库 导数及其应用.docx

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必刷小题5导数及其应用

一、单项选择题

1.已知函数y＝f（x）的图象在点P（3，f（3））处的切线方程是y＝－2x＋7，则f（3）－f（3）＝（）

A.－2 B.2

C.－3 D.3

解析：D函数f（x）的图象在点P（3，f（3））处的切线的斜率就是在该点处的导数，即f（3）就是切线y＝－2x＋7的斜率，所以f（3）＝－2，f（3）＝－2×3＋7＝1，所以f（3）－f（3）＝1－（－2）＝3.故选D.

2.已知函数f（x）＝lnx－x2－ax有两个零点，则实数a的取值范围是（）

A.（－∞，－1） B.（－1，0）

C.（0，1） D.（0，＋∞）

解析：A函数f（x）＝lnx－x2－ax的定义域为（0，＋∞），令f（x）＝lnx－x2－ax＝0，则lnx－x2＝ax，即函数g（x）＝lnx－x2与直线y＝ax有两个交点，∵g（x）＝1x－2x＝1－2x2x，令g（x）＞0，则0＜x＜22，令g（x）＜0，则x＞22，∴g（x）在（0，22）上单调递增，在（22，＋∞）上单调递减，设g（x）＝lnx－x2与y＝ax的切点坐标为P（x0，lnx0－x02），切点斜率k＝1x0－2x0，则有a＝1x0－2x0，lnx0－x02＝ax0消去a得，x02＋lnx0－1＝0，显然y＝x2＋lnx－1在（0，＋∞）上单调递增，且当x＝1时，

3.设函数f（x）＝xex，x≥a，x

A.a≤1 B.a＜1

C.a≤1e D.a＜

解析：C显然x＜a时，f（x）＜a无最大值，x≥a时，f（x）＝xex存在最大值，f（x）＝1－xex，当x＜1时，f（x）＞0，f（x）递增，当x＞1时，f（x）＜0，f（x）递减，所以x＝1时，f（x）取得极大值也是最大值.f（1）＝1e，因此f（x）要有最大值，必须满足a

4.已知函数y＝f（x）的部分图象如图所示，且f（x）是f（x）的导函数，则（）

A.f（－1）＝f（－2）＜0＜f（1）＜f（2）

B.f（2）＜f（1）＜0＜f（－1）＝f（－2）

C.0＞f（2）＞f（1）＞f（－1）＝f（－2）

D.f（2）＜f（1）＜0＜f（－2）＜f（－1）

解析：B由函数图象可知，当x≤0时，函数y＝f（x）匀速递增，故f（x）是一个大于0的常数，当x＞0时，函数y＝f（x）递减，且递减幅度越来越快，∴f（x）＜0，且y＝f（x）单调递减，则f（2）＜f（1）＜0＜f（－1）＝f（－2），故选B.

5.若函数f（x）＝x3－12x在区间（k－1，k＋1）上不是单调函数，则实数k的取值范围是（）

A.k≤－3或－1≤k≤1或k≥3

B.－3＜k＜－1或1＜k＜3

C.－2＜k＜2

D.不存在这样的实数

解析：B∵f（x）＝x3－12x，∴f（x）＝3x2－12＝3（x＋2）·（x－2），令f（x）＝0，解得x＝－2或x＝2，所以当x＞2或x＜－2时f（x）＞0，当－2＜x＜2时f（x）＜0，所以f（x）在（－∞，－2）和（2，＋∞）上单调递增，在（－2，2）上单调递减，即函数f（x）＝x3－12x极值点为±2，若函数f（x）＝x3－12x在区间（k－1，k＋1）上不是单调函数，则－2∈（k－1，k＋1）或2∈（k－1，k＋1），所以k－1－2，－2k+1或k－12，2k+1，解得

6.已知函数f（x）＝2lnx＋1x－x，则不等式f（2x－1）＜f（1－x）的解集为（

A.（0，23） B.（23

C.（12，1） D.（12，

解析：B由题意可知，函数f（x）＝2lnx＋1x－x的定义域为（0，＋∞）.因为f（x）＝2x－1x2－1＝－（1x－1）2≤0恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减.则由f（2x－1）＜f（1－x）可得2x－10，

7.已知a＝e0.11，b＝1.11.1，c＝1.11，则（）

A.a＞b＞c B.a＞c＞b

C.b＞a＞c D.b＞c＞a

解析：A显然，a，b，c皆为正数.欲比较a和b的大小，只需比较lna和lnb的大小.lna＝lne0.11＝0.11，lnb＝ln1.11.1＝1.1ln1.1，即比较0.11和1.1ln1.1的大小.下面先证明lnx＜x－1（x＞0且x≠1）.记f（x）＝lnx－（x－1），则f（x）＝1x－1.令f（x）＞0，得0＜x＜1；令f（x）＜0，得x＞1.函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以对任意x＞0，都有f（x）≤f（1）＝0，即lnx≤x－1恒成立，所以对任意x＞0且x≠1，都有f（x）＜f（1）＝0，即lnx＜x－1恒成立，当x＝1.1时有ln1.1＜1.1－1，故1.1ln1.1＜1