《马尔可夫链讲》课件.pptVIP

马尔可夫链讲马尔可夫链是一种随机过程，它描述了一个系统从一个状态到另一个状态的转移概率，每个状态的转移只依赖于前一个状态。马尔可夫链在各种领域中都有应用，包括物理学、化学、生物学、经济学、金融学和计算机科学。作者：

马尔可夫链概述定义马尔可夫链是一个随机过程，它描述了一个系统随时间推移的随机变化。核心概念马尔可夫链的未来状态只依赖于当前状态，与过去状态无关。应用在各种领域都有广泛的应用，包括物理学、生物学、经济学和计算机科学。

马尔可夫链的定义11.状态空间马尔可夫链定义了有限个状态，代表系统可能出现的各种情况。22.状态转移概率系统从一个状态转换到另一个状态的概率，与当前状态和之前的状态无关。33.时间步长马尔可夫链通常用于描述一个系统随时间的演化，每个时间步代表一次状态变化。

马尔可夫链的特性无记忆性马尔可夫链的未来状态只依赖于当前状态，与过去状态无关。随机性马尔可夫链的状态转移是随机的，由概率控制。链式性马尔可夫链的状态转移是一个连续的链式过程。时间齐次性马尔可夫链的转移概率与时间无关。

马尔可夫链的应用背景马尔可夫链作为一种强大的数学模型，在各个领域都有着广泛的应用。从自然科学到社会科学，从工程技术到金融经济，马尔可夫链都扮演着重要的角色。例如，在物理学中，马尔可夫链可以用来模拟粒子的随机运动；在生物学中，马尔可夫链可以用来描述基因的演化过程；在经济学中，马尔可夫链可以用来预测股市的波动趋势。

离散时间马尔可夫链1状态转移矩阵描述状态之间的转移概率2状态空间系统的可能状态3时间点离散时间点离散时间马尔可夫链是描述随机事件在离散时间点上变化的一种模型。它假设当前状态只与前一个状态有关，而与更早的状态无关。

状态转移矩阵状态转移矩阵是一个用来描述马尔可夫链中状态之间转移概率的矩阵。矩阵中的每个元素代表从一个状态转移到另一个状态的概率。状态转移矩阵描述状态之间转移概率的矩阵矩阵元素代表从一个状态转移到另一个状态的概率

平稳分布定义平稳分布是马尔可夫链状态的概率分布，随着时间的推移保持不变。重要性平稳分布是马尔可夫链长期行为的描述，能够帮助预测系统未来的状态。

平稳分布的性质唯一性如果一个马尔可夫链存在平稳分布，那么该平稳分布是唯一的。收敛性对于一个不可约非周期马尔可夫链，无论初始状态如何，链最终都会收敛到其平稳分布。稳态平稳分布表示链在经过足够长的时间后，状态分布不再随时间变化。

平稳分布的求解1方程组求解建立平稳分布的方程组，利用状态转移矩阵或状态转移强度矩阵，求解方程组得到平稳分布。2迭代方法从任意初始分布开始，不断迭代状态转移矩阵或状态转移强度矩阵，直到分布收敛于平稳分布。3特征值求解利用状态转移矩阵或状态转移强度矩阵的特征值和特征向量求解平稳分布，其中特征值为1的特征向量对应平稳分布。

马尔可夫链的例子马尔可夫链在现实生活中应用广泛，例如天气预报、股票价格预测、自然语言处理、基因序列分析等等。我们可以使用马尔可夫链来模拟天气变化的模式，预测明天是晴天还是雨天。此外，还可以应用于语言模型，生成更自然流畅的文字。

连续时间马尔可夫链定义连续时间马尔可夫链是指状态随时间连续变化的马尔可夫链。特点状态转移过程用转移强度矩阵描述，表示从一个状态转移到另一个状态的速率。应用广泛应用于物理、化学、生物等领域，用于模拟随机过程，例如粒子运动、化学反应。举例一个放射性原子衰变过程，可以看作是连续时间马尔可夫链。

状态转移强度矩阵在连续时间马尔可夫链中，状态转移强度矩阵描述了系统从一个状态转移到另一个状态的速率。矩阵元素qij表示系统从状态i转移到状态j的速率。对角线元素qii表示系统从状态i转移到其他状态的总速率。例如，如果q12=2，表示系统从状态1转移到状态2的速率为每单位时间2个单位。

平稳分布的求解1解方程组利用状态转移强度矩阵和平稳分布的定义，构建线性方程组。2求解方程使用线性代数方法求解方程组，得到平稳分布的解。3验证结果验证所得解是否满足平稳分布的条件。

连续时间马尔可夫链的例子连续时间马尔可夫链在许多领域都有应用，例如队列论、可靠性理论和金融模型。例如，在队列论中，我们可以用连续时间马尔可夫链来模拟客户到达和服务完成的过程，从而计算平均等待时间和系统容量等指标。

吸收马尔可夫链吸收马尔可夫链是一种特殊的马尔可夫链，它包含一个或多个吸收状态。吸收状态一旦进入就无法离开，例如随机游走中，到达边界点就无法再前进。吸收马尔可夫链常用于分析系统最终会进入哪个吸收状态，以及进入该状态需要多少时间。我们可以用状态转移矩阵来描述吸收马尔可夫链的动态变化过程。

吸收状态不可逃逸吸收状态是马尔可夫链中的一种特殊状态，一旦进入该状态，就无法再转移到其他状态。最终状态吸收状态可以看作是马尔可