北大版本固体物理-6省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件.pptx

第六章自由电子费米气体

(金属自由电子论)

§1.金属自由电子论物理模型

1.Drude金属自由电子论

Drude经典理论将自由电子看作是经典离子气体，服从波尔兹曼分布(速度分布)，与中性稀薄气体一样去处理，认为电子之间无相互作用，同时也不考虑离子实势场作用，这么一个简单物理模型处理金属许多动力学问题是很成功。

;这套理论有以下基本假设：

〈1〉金属晶体中这些传导电子除了与离子实碰撞之外，不受任何离子实作用，也就是忽略了离子实与传导电子之间相互作用，这种近似称为自由电子近似。

假如忽略了离子实与传导电子之间相互作用，同时又忽略了电子与电子之间相互作用，成为独立电子近似。

〈2〉传导电子简单地和正离子相碰撞(受正离子实散射)，每次碰撞都急剧地改变传导电子速度。

;〈3〉电子与离子实在单位时间中相??撞几率为1/τ，在dt时间内相碰撞几率为dt/τ。τ称为弛豫时间，即电子在两次连续碰撞之间所经历时间间隔。

〈4〉传导电子经过与正离子实碰撞而和周围环境到达热平衡，每次碰撞后电子都以新面貌出现，碰撞后速度是随机，碰撞后速度与碰撞时地点和时间相关，而与碰撞前状态无关。

〈3〉、〈4〉两条又称为弛豫时间近似。

;2．Sommerfeld自由电子论

这种理论认为传导电子不应看作经典粒子气体，而应该看作自由电子费米气体。忽略传导电子与离子实之间相互作用，忽略传导电子之间相互作用，这种自由电子气体服从费米—狄喇克统计规律。

;传导电子在金属中自由运动，电子与电子之间有很强排斥力，电子与离子实之间有很强吸引力。Sommerfeld自由电子理论认为把离子实电荷抹散成一个正电荷背景(这么周期势场就不存在了)好象“凝胶”一样。这种“凝胶”作用纯粹是为了赔偿传导电子之间排斥作用，以至于使得这些传导电子不至于因为彼此之间很强排斥作用而从金属晶体中飞溅出去，这就相当于“凝胶”模型。

;按照Sommerfeld模型，电子在正电荷背景中运动不受正电荷散射，电子所受到散射纯粹来自周期结构破坏与偏离，这些散射是：

（1）电子与声子碰撞。离子实固定在阵点上是不散射电子，只有离子实在平衡位置附近振动才会产生声子，才会出现声子与电子碰撞。

;(2)电子与夹杂缺点散射

因为夹杂缺点存在破坏

了晶体周期势场，因而会

引发散射。

;（3）电子与电子之间散射

这是由泡利原理引发，

几率很小。

;§2.能级和轨道密度

1.一维能级和轨道

若有一长为L样品,写出其中传导电子薛定锷方程为:

一维自由电子气体定态薛定锷方程为:

则方程变为：

;

解此方程边界条件有两种选法：

1固定边界条件

即电子不能跑到晶体外边去。

在固定边界条件下，薛定锷方程解含有驻波形式，而能量本征值：

n为正整数

;描写一个电子量子态需要两个量子数：

能量量子数

自旋量子数

;

在T=0k时,电子能级与轨道填充时有两个标准:

①先填能量低能级

②服从泡利原理

在T=0K时,电子所能填充到最高能级称为费米能级：

因为每个能级上只能存在有自旋相反两个电子,

---单位长度上电子数(电子浓度)

;2周期性边界条件

在此条件下薛定锷方程解是行波解,不再是驻波解。

能量本征值：

;

2.三维情况下自由电子薛定锷方程为：

在固定边界条件下有驻波解：

;若在三个方向都用周期性边界条件：

薛定锷方程解在三个方向都以L为周期重复，即：

此时（省去了归一化常数），波矢取一系列分立值：

;将

代回薛定锷方程可求出能级：

这就是色散关系，能量随波矢改变是抛物线函数。

;对于一个三维晶体，需要量子数为：

(1)波矢k（三个分量kx、ky、kz）

(2)自旋量子数

给定了就确定了能级，代表同能级上自旋相反一对电子轨道。

在波矢空间自由电子等能面是一个球面

=恒常

在波矢空间是一球面方程，不一样能量等能面是一系列同心球面。

;电子在T=0k时所能填充到最高等能面称为费米面，我们知道自