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四川省彭州市第一中学2024届高三第二次调研数学试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在钝角中，角所对的边分别为，为钝角，若，则的最大值为（）

A． B． C．1 D．

2．“且”是“”的（）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知集合，则（）

A． B．

C． D．

4．复数的虚部为（）

A． B． C．2 D．

5．对于定义在上的函数，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误的一个是（）

A．在上是减函数 B．在上是增函数

C．不是函数的最小值 D．对于，都有

6．已知定义在上的偶函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（）

A． B．

C． D．

7．抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（）

A． B． C． D．

8．已知菱形的边长为2，，则（）

A．4 B．6 C． D．

9．若双曲线的焦距为，则的一个焦点到一条渐近线的距离为（）

A． B． C． D．

10．在中，角、、所对的边分别为、、，若，则（）

A． B． C． D．

11．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的-一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的关系为（）

A． B．

C． D．

12．已知为等腰直角三角形，，，为所在平面内一点，且，则（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若点在直线上，则的值等于______________.

14．已知，为虚数单位，且，则=_____.

15．将函数的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则________．

16．设函数，若存在实数m，使得关于x的方程有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a的取值范围是______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）设函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）当时，求实数的取值范围．

18．（12分）在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是.

（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C相交于两点A，B，求线段的长.

19．（12分）如图，在四棱锥中，，，，和均为边长为的等边三角形.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

20．（12分）某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线①：有A，B两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02，0.03.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为15万元；若A工序出现故障，则生产成本增加2万元；若B工序出现故障，则生产成本增加3万元；若A，B两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元.生产线②：有a，b两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.04，0.01.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为14万元；若a工序出现故障，则生产成本增加8万元；若b工序出现故障，则生产成本增加5万元；若a，b两道工序都出现故障，则生产成本增加13万元.

（1）若选择生产线①，求生产成本恰好为18万元的概率；

（2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由.

21．（12分）已知数列满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

22．（10分）已知数列为公差不为零的等差数列，是数列的前项和，且、、成等比数列，.设数列的前项和为，且满足.

（1）求数列、的通项公式；

（2）令，证明：.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

首先由正弦定理将边化角可得，即可得到，再求出，最后根据求出的最大值；

【详解】

解：因为，

所以

因为

所以

，即，，

时

故选：

【点睛】

本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题.

2、A

【解析】

画出“,,,所表示的平面区域,即可进行判断.

【详解】

如图，“且”表示的区域是如图所示的正方形，

记为集合P，“”表示的区域是单位