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人教部编版八年级数学培优资料(大容量优质版)

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1.用提公因法把多项进行因分解

【知识点梳理】

如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把个公因式提到括号

外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。

多项式的公因式的确定方法是：

(1)当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幕。

(2)系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解

【典型例题解析】

1.把下列各式因式分解

(1)-a2xm+2+abxm+i-acxm-axm+3

(2)q(q—b)+2q2(b—q)2—2ab(b—。)

分析：(1)若多项的第一项系数是负数，一般要提出“一”号，使括号内的第一项

系数是正数，在提出“一”号后，多项的各项都要变号。

解：-a2xm+2+abxm+1-acxm-axm+3=-axm(ax2-bx+c+x^

(2)有时将因经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因，如：当n为自然数

时，(Q一幻2〃=0—q)2〃；(q一幻2〃一1=—0—q)2〃—1是在因分解过程中常用的因变

换。

解：q(q—b)+2亍(b—q)2—2ab(b—q)

—q(q—b)+2/(q—bV+2qZ)(q—b)

—q(q—Z))[(6z—+2q(q—Z)+2Z)]

—q(q—Z))(3q2—4cib++2b)

2.利用提公因式法简化计算过程

心、「仲987eg987…987已。987

例：计算123x268x456x521x

1368136813681368

987

分析：算中每一项都含有——，可以把它看成公因提取出来，再算出结果。

1368

987

解：原=——x(123+268+456+521)

1368

987

=——x1368=987

1368

3.在多项式恒等变形中的应用

2x+J；=3

例：不解方程组，求代数(2x+)(2x—3j0+3x(2x+y)的值。

5x-3y=-2

分析：不要求解方程组，我们可以把2x+y和5x-3】看成整体，它们的值分别是3

和-2观察代数，发现每一项都含有2x+j利用提公因法把代数恒等变形，化为

含有2x+y和5x-3y的子，即可求出结果。

解：(2x+*)(2x—3y)+3x(2x+*)=(2x+y)(2x—3y+3x)=(2x+j/)(5x—3*)

把2x+v和5x-3j分别为3和-2带入上，求得代数的值是-6。

4.在代数证明题中的应用

例：证明：对于任意自然数n32_2〃+2+3〃-2〃一定是10的倍数。

分析：首先利用因分解把代数恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。

3〃+22〃+2+3〃2〃一3〃+2+3〃2〃+22〃

=3n(32+1)-2W(22+1