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历年函数高考真题及答案

题目一：2019年全国卷I

题目：已知函数$f(x)=x^33x+1$，若$a$是方程$f(x)=0$的一个实数根，则$|a+1|+|a1|$的最小值为：

答案：$2$

解析：

由于$a$是方程$f(x)=0$的一个实数根，所以$a^33a+1=0$。我们需要求$|a+1|+|a1|$的最小值。

考虑到$|a+1|$和$|a1|$是绝对值函数，我们可以分情况讨论：

1.当$a\geq1$时，$|a+1|+|a1|=(a+1)+(a1)=2a$。

2.当$1\leqa1$时，$|a+1|+|a1|=(a+1)+(1a)=2$。

3.当$a1$时，$|a+1|+|a1|=(a+1)(a1)=2a$。

显然，当$1\leqa1$时，$|a+1|+|a1|$的最小值为$2$。

题目二：2020年北京卷

题目：设函数$g(x)=x^2+ax+b$（$a,b$是常数），若$g(x)$在区间$(1,3)$上有零点，则$a+b$的取值范围是：

答案：$(\infty,4]$

解析：

由题意，$g(x)$在区间$(1,3)$上有零点，即存在某个$x\in(1,3)$使得$g(x)=0$。因此，$g(1)\cdotg(3)0$。

计算$g(1)$和$g(3)$：

$$

g(1)=1^2+a\cdot1+b=1+a+b

$$

$$

g(3)=3^2+a\cdot3+b=9+3a+b

$$

所以，$g(1)\cdotg(3)=(1+a+b)(9+3a+b)0$。

展开并整理得：

$$

(9+3a+b+a+ab+b)0

$$

$$

(10+4a+ab+2b)0

$$

解这个不等式，我们得到$a+b\leq4$。

题目三：2021年江苏卷

题目：已知函数$h(x)=\frac{1}{x^22x+3}$，若$h(x)$的定义域为$D$，求$D$的值。

答案：$D=\{x|x\neq1,x\in\mathbb{R}\}$

解析：

函数$h(x)$的分母不能为零，所以需要解方程$x^22x+3=0$。通过判别式$\Delta=b^24ac$来判断是否有实数解。

$$

\Delta=(2)^24\cdot1\cdot3=412=8

$$

因为$\Delta0$，所以$x^22x+3=0$没有实数解。这意味着$x^22x+3$永远不为零，所以$h(x)$的定义域是所有实数除去使分母为零的点。

由于分母是一个二次多项式，且没有实数根，所以$D=\{x|x\neq1,x\in\mathbb{R}\}$，因为$x=1$时分母为$12+3=2$，不为零。