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2023-2024学年江西省赣州市博雅文高考数学五模试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.阿基米德(公元前287年—公元前212年),伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家,他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形,为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的,且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形,其表面积为,则该圆柱的内切球体积为()
A. B. C. D.
2.在中,,,分别为角,,的对边,若的面为,且,则()
A.1 B. C. D.
3.复数的共轭复数为()
A. B. C. D.
4.设,则复数的模等于()
A. B. C. D.
5.明代数学家程大位(1533~1606年),有感于当时筹算方法的不便,用其毕生心血写出《算法统宗》,可谓集成计算的鼻祖.如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图,若输出的的值为,则输入的的值为()
A. B. C. D.
6.已知函数,,若对任意的总有恒成立,记的最小值为,则最大值为()
A.1 B. C. D.
7.在中,,,,点,分别在线段,上,且,,则().
A. B. C.4 D.9
8.函数(其中是自然对数的底数)的大致图像为()
A. B. C. D.
9.过椭圆的左焦点的直线过的上顶点,且与椭圆相交于另一点,点在轴上的射影为,若,是坐标原点,则椭圆的离心率为()
A. B. C. D.
10.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为
A. B.
C. D.
11.已知函数在上都存在导函数,对于任意的实数都有,当时,,若,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
12.已知向量满足,且与的夹角为,则()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.如图所示,直角坐标系中网格小正方形的边长为1,若向量、、满足,则实数的值为_______.
14.已知点是直线上的一点,将直线绕点逆时针方向旋转角,所得直线方程是,若将它继续旋转角,所得直线方程是,则直线的方程是______.
15.已知点是双曲线渐近线上的一点,则双曲线的离心率为_______
16.若x,y均为正数,且,则的最小值为________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)设函数.
(1)若,求函数的值域;
(2)设为的三个内角,若,求的值;
18.(12分)某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系,对该校名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查,如表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟)
将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”.
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表:
并通过计算判断,是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“锻炼达标”与性别有关?
(2)在“锻炼达标”的学生中,按男女用分层抽样方法抽出人,进行体育锻炼体会交流.
(i)求这人中,男生、女生各有多少人?
(ii)从参加体会交流的人中,随机选出人发言,记这人中女生的人数为,求的分布列和数学期望.
参考公式:,其中.
临界值表:
0.10
0.05
0.025
0.010
0
2.706
3.841
5.024
6.635
19.(12分)已知向量,函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间;
(2)在中,三内角的对边分别为,已知函数的图像经过点,成等差数列,且,求a的值.
20.(12分)某企业现有A.B两套设备生产某种产品,现从A,B两套设备生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本,检测某一项质量指标值,若该项质量指标值落在内的产品视为合格品,否则为不合格品.图1是从A设备抽取的样本频率分布直方图,表1是从B设备抽取的样本频数分布表.
图1:A设备生产的样本频率分布直方图
表1:B设备生产的样本频数分布表
质量指标值
频数
2
18
48
14
16
2
(1)请估计A.B设备生产的产品
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