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湖北省孝感市八校2024届高三第一次调研测试数学试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在中，，，，点，分别在线段，上，且，，则（）．

A． B． C．4 D．9

2．已知，若对任意，关于x的不等式（e为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a的取值范围是（）

A． B． C． D．

3．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数的图象的一条对称轴是，则的最小值为

A． B． C． D．

4．执行如图所示的程序框图，当输出的时，则输入的的值为()

A．-2 B．-1 C． D．

5．中，，为的中点，，，则（）

A． B． C． D．2

6．已知函数，若方程恰有两个不同实根，则正数m的取值范围为（）

A． B．

C． D．

7．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：）

A．1624 B．1024 C．1198 D．1560

8．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x，y进行回归分析，设u=lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为=0.5v+2，则变量y的最大值的估计值是（）

A．e B．e2 C．ln2 D．2ln2

9．已知，且，则在方向上的投影为（）

A． B． C． D．

10．在中，D为的中点，E为上靠近点B的三等分点，且，相交于点P，则（）

A． B．

C． D．

11．展开项中的常数项为

A．1 B．11 C．-19 D．51

12．已知等差数列的前13项和为52，则（）

A．256 B．-256 C．32 D．-32

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为__________.

14．已知数列满足对任意，若，则数列的通项公式________．

15．如果复数满足，那么______（为虚数单位）.

16．在平行四边形中，已知，，，若，，则____________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知等差数列满足，.

（l）求等差数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

18．（12分）已知函数.

（1）当时，解关于的不等式；

（2）若对任意，都存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.

19．（12分）如图，四棱锥中，底面是菱形，对角线交于点为棱的中点，．求证：

（1）平面；

（2）平面平面．

20．（12分）设为实数,已知函数,．

（1）当时,求函数的单调区间：

（2）设为实数,若不等式对任意的及任意的恒成立,求的取值范围;

（3）若函数（,）有两个相异的零点,求的取值范围．

21．（12分）已知，函数的最小值为1．

（1）证明：．

（2）若恒成立，求实数的最大值．

22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为；

（1）求直线的直角坐标方程和曲线的直角坐标方程；

(2）若直线与曲线交点分别为，，点，求的值．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

根据题意，分析可得,由余弦定理求得的值，由可得结果.

【详解】

根据题意，，则

在中，又,

则

则

则

则

故选：B

【点睛】

此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.

2、B

【解析】

构造函数（），求导可得在上单调递增,则,问题转化为,即至少有2个正整数解,构造函数,,通过导数研究单调性,由可知，要使得至少有2个正整数解,只需即可,代入可求得结果.

【详解】

构造函数（），则（），所以在上单调递增，所以，故问题转化为至少存在两个正整数x，使得成立，设，，则，当时，单调递增；当时，单调递增.，整理得.

故选:B.

【点睛】

本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查