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高一数学辅导讲义第8讲----均值不等式

【高考导航】

历年来高考以选择题或填空题的形式考查利用均值不等式求最值的问题．利用均值不等式求最值的前提是“一正二定三相等”．需通过变形技巧，得到“和”或“积”为定值的情形．均值不等式作为求最值的工具，渗透在许多方面，应用非常广泛

【知识要点】

1、主要公式：

〔1〕重要不等式

假设,那么〔当且仅当时取等号〕。

〔2〕均值不等式

如果都是正数，那么〔当仅当时取等号〕。

〔其中叫做的算术平均数，叫做的几何平均数〕

〔3〕变形：

①，②；

2、最值定理：假设那么：

①如果P是定值,那么当时，S的值最小；

②如果S是定值,那么当时，P的值最大.

注意：使用均值不等式求最值时要注意以下几点：

①前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，那么应根据题目创设条件；还要注意选择恰当的公式；

②“和定积最大，积定和最小”，可用来求最值；

③均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。

【思维方法】

1、用均值不等式求函数最值时，关键在于将函数变形为两项的和或积，使这两项的和或积或平方和为定值，然后用公式求出最值；

2、利用均值不等式求最值时一定要注意使用条件：一正二定三相等，三者缺一不可。如均值不等式法无效，一般可改用单调性法求解。

【根底自测】

1.当为何值时，有最小值？最小值为多少？

2、假设，且，那么以下不等式中，恒成立的是 〔〕

A、B、C、D、

3、以下函数中，最小值为2的是〔〕

A、 B、

C、D、

【应用举例】

例1、那么是否存在最大最小值？假设存在，那么求出其最值。

变式训练：假设正数满足，那么的取值范围是

的取值范围是

例2、〔1〕设，求函数的最大值

〔2〕求的取值范围

例3、〔1〕求的最小值

〔2〕求的最小值

〔3〕求的最小值

【高考链接】

1、〔2011重庆〕，那么的最小值是()

A、B、4C、D、5

2、〔2010重庆〕，那么的最小值是()

A、3B、4C、D、

3、〔2010安徽文数〕假设，那么以下不等式对一切满足条件的恒成立的是(写出所有正确命题的编号)．

①；②；③；

④；⑤

4、〔2010浙江文数〕假设正实数满足，那么的最小值是