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高考圈题〔新课标II数学文〕

题组4不等式应用

一、考法解法

命题特点分析

本局部内容高考主要考查以下几方面：

(1)考查利用根本不等式求最值、证明不等式等，利用根本不等式解决实际问题．

(2)考查以线性目标函数的最值为重点，目标函数的求解常结合其代数式的几何意义(如斜率、截距、距离、面积等)来求解．

(3)一元二次不等式经常与函数、导数、数列、解析几何相结合考查参数的取值范围，以考查一元二次不等式的解法为主，并兼顾二次方程的判别式、根的存在等．

不等式局部重点掌握一元二次不等式的解法，特别是含有字母参数的一元二次不等式的解法，根本不等式求最值，二元一次不等式组所表示的平面区域，包括平面区域的形状判断、面积以及与平面区域有关的最值问题，简单的线性规划模型在解决实际问题中的应用．对不等式的深入复习要结合数列、解析几何、导数进行.

解题方法荟萃

1．解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)，可利用一元二次方程、一元二次不等式和二次函数间的关系．

2．使用根本不等式以及与之相关的不等式求一元函数或者二元函数最值时，根本的技巧是创造使用这些不等式的条件，如各变数都是正数，某些变数之积或者之和为常数等，解题中要根据这个原那么对求解目标进行适当的变换，使之到达能够使用这些不等式求解最值的目的．在使用根本不等式求函数的最值、特别是求二元函数最值时一定要注意等号成立的条件，尽量防止二次使用根本不等式．

3．平面区域确实定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．线性目标函数z＝ax＋by中的z不是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，把目标函数化为y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)可知eq\f(z,b)是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.

二、真题剖析

【题干】〔2015?全国新课标II卷文科〕假设x,y满足约束条件,那么z=2x+y的最大值为．

【答案】8

【解析】不等式表示的可行域是以(1,1),(2,3),(3,2)为顶点的三角形区域,z=2x+y的最大值必在顶点处取得,经验算,x=3,y=2时,z取得最大值8.

〔点评〕此题是线性规划问题中的根本问题〔给出可行域，求截距的最值〕，只要细心作图，画出目标函数所在直线，就能观察出最优解。题目不难，属容易题。

【题干】(2014新课标全国Ⅱ卷)设函数f〔x〕＝sin．假设存在f〔x〕的极值点x0满足x02＋［f〔x0〕］2＜m2，那么m的取值范围是〔〕

A．〔－∞，－6〕∪〔6，＋∞〕B．〔－∞，－4〕∪〔4，＋∞〕

C．〔－∞，－2〕∪〔2，＋∞〕D．〔－∞，－1〕∪〔4，＋∞〕

【答案】A

【解析】(命题意图)考查三角函数的最值,考查导数的应用,考查不等式的解法

(解题点拨)∵f〔x〕＝sin的极值为±，即［f〔x0〕］2＝3，│x0│≤

∴x02＋［f〔x0〕］2≥＋3，∴＋3＜m2，解得│m│＞2，应选C

(点评)综合考查函数导数不等式.

【题干】(2014新课标全国Ⅰ卷)不等式组的解集记为.有下面四个命题：

：，：,

：，：.

其中真命题是()

.，.，.，.，

【答案】C

【解析】(命题意图)此题通过线性规划模型来考查命题的真假判断与应用，巧妙地把线性规划与常用逻辑结合在一起，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于中档题

(解题点拨)解法1选C〔作图验证〕

作出可行域如图：设，即，当直线过时，

，∴，∴命题、真命题，选C.

解法2选C〔特殊点验证〕

取点〔4，0〕代入=4，那么不成立，所以成立，而不成立，排除A、B、D选C

(点评)为作图需要一定的时间，所以解法二取特殊点验证更节省时间，提高解题效率。线性规划是高考热点之一,考查内容涉及最优解、最值、区域面积与形状等,通常通过画可行域、移线、数形结合等方法解决问题。近几年，高考对线性规划的问题的考查不再仅仅是对常规问题的考查，在知识点的交汇处命题成为高考的一个新热点。

【题干】(2014新课标全国Ⅰ卷)知分别为的三个内角的对边，=2，且，那么面积的最大值为.

【答案】

【解析】(命题意图)此题主要考查正弦定理及根本不等式的应用，属于中档题.

(解题点拨)由且，

即，由及正弦定理得：

∴，故，∴，∴

，∴.

[另解]由且，

即，由及正弦定理得：(

然后利用角形式的余弦定理可计算得。后面过程同解法1

(点评)由条件利用正弦定理可得．再利用根本不等式