湖南省衡阳县2023-2024学年高三第六次模拟考试数学试卷含解析.docVIP

湖南省衡阳县2023-2024学年高三第六次模拟考试数学试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）

A． B． C． D．

2．已知平面向量，满足且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为（）

A． B． C． D．1

3．“”是“直线与互相平行”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．函数在的图象大致为

A． B．

C． D．

5．设，则（）

A． B． C． D．

6．的展开式中的一次项系数为（）

A． B． C． D．

7．tan570°=（）

A． B．- C． D．

8．若的二项展开式中的系数是40，则正整数的值为（）

A．4 B．5 C．6 D．7

9．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（）

A． B．

C． D．

10．设为定义在上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（）

A． B． C． D．

11．甲乙两人有三个不同的学习小组，，可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（）

A．B．C．D．

12．若函数在处取得极值2，则（）

A．-3 B．3 C．-2 D．2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．展开式中项的系数是__________

14．已知非零向量的夹角为，且，则______.

15．如图,已知，，为的中点，为以为直径的圆上一动点，则的最小值是_____．

16．若函数，其中且，则______________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知等差数列an,和等比数列b

(I)求数列{an}

(II)求数列n2an?a

18．（12分）已知三棱柱中，，是的中点，，.

（1）求证：；

（2）若侧面为正方形，求直线与平面所成角的正弦值.

19．（12分）已知数列的前项和为，且满足．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）证明：．

20．（12分）若不等式在时恒成立，则的取值范围是__________.

21．（12分）已知数列的前n项和，是等差数列，且.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令.求数列的前n项和.

22．（10分）已知矩阵，求矩阵的特征值及其相应的特征向量．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

根据三角函数的两角和差公式得到，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果.

【详解】

函数

则函数的最大值为2，

存在实数，使得对任意实数总有成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即

故答案为：B.

【点睛】

这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.

2、B

【解析】

根据题意,建立平面直角坐标系.令.为中点.由即可求得点的轨迹方程.将变形,结合及平面向量基本定理可知三点共线.由圆切线的性质可知的最小值即为到直线的距离最小值,且当与圆相切时,有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为的最大值.

【详解】

根据题意,设,

则

由代入可得

即点的轨迹方程为

又因为,变形可得,即,且

所以由平面向量基本定理可知三点共线,如下图所示:

所以的最小值即为到直线的距离最小值

根据圆的切线性质可知,当与圆相切时,有最大值

设切线的方程为,化简可得

由切线性质及点到直线距离公式可得,化简可得

即

所以切线方程为或

所以当变化时,到直线的最大值为

即的最大值为

故选:B

【点睛】

本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用,圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.

3、A

【解析】

利用两条直线互相平行的条件进行判定

【详解】

当时，直线方程为与，可得两直线平行；

若直线与互相平行，则，解得，

，则“”是“直线与互相平行”的充分不必要条件，故选

【点睛】

本题主要考查了两直线平