6.2 平面向量的运算（含答案）.docxVIP

2025年

6.2平面向量的运算

一、选择题

1．下列表达式化简结果与PA相等的是（）

A．AB+BP

C．BC+CA?

2．已知向量a=(1,2),

A．a//(a+b)

C．a⊥(a?

3．已知向量a,b不平行，向量3a+4b

A．?83 B．83 C．?

4．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点．则EB=

A．34AB?

C．34AB+

5．在△ABC中，D是AB的中点，E是CD的中点，若AE=λCA+μ

A．?34 B．?12

6．在△ABC中，BC=3BD，CF=2FA，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若

A．37 B．47 C．6

7．已知平行四边形ABCD，若点P是边AD的中点，AQ=3QB，直线AC与PQ相交于点M，则

A．16 B．15 C．310

8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形ABCDEF的边长为23，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则PM

A．[5，8] B．[2，3] C．

二、多项选择题

9．如图，AB=2AE,AC=3AD，线段BD与

A．DE=12

C．AF=35

10．已知平面向量a=(1,2)，b=(?2,x)，a与b的夹角为

A．若a//b，则x=?1 B．若x=2

C．若a⊥b，则x=1 D．若cos

11．下列四个命题为真命题的是（）．

A．已知向量a=(cosα,sinα)，

B．若向量a=(5,0)，b=(2,1)，则a在b

C．若a=23，b=4，A=θ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则

D．若AO=λABABsinB

三、填空题

12．(AB?CB

13．设a,b是平面内不共线的一组基底，AC=3a+kb

14．若a=1，b=3，则a+b+

15．如图，在△ABC中，BO=2OC，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设AB=mAM，AC=n

四、解答题

16．设e1，e2是不平行的向量，且a=k

（1）若向量a与b共线，求实数k的值；

（2）若k=1，用a，b的线性组合表示c=3

17．已知向量a=

（1）求|a

（2）当a//c?

（3）当c?a⊥

18．在△ABC中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点．

（1）分别用向量AB，AD表示向量AC，BE；

（2）若点N满足4AN+2AB=3AC，证明：B

19．若A，B，C是平面内不共线的三点，且同时满足以下两个条件：①AB=AC；②存在异于点A的点G使得：AG与AB+

（1）求∠BAC；

（2）若A?1,0，B2,3

（3）记a，b，c中的最小值为mina,b,c，若AB=23，AG=1

参考答案

1．B

2．D

3．C

4．A

5．B

6．A

7．C

8．A

9．A,D

10．B,C,D

11．A,D

12．A

13．13

14．210

15．3+2

16．（1）?

（2）c

17．（1）由a=4,3，b=?1,1，

得a→

（2）因为a//c，

所以4×6?3x=0，解得

（3）因为c?a=x?4,3，b=?1,1，

若

所以x?4,3??1,1=?x?4+1×3=?x+7=0

18．（1）解：因为E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点，所以CD=2

则AC=

BE=

（2）解：因为4AN+2AB

则AN=?

所以2AN=?AB+3AE

又因为BE,EN有公共点

所以B，N，E三点共线.

19．（1）因为AG与AB+AC同向，设

则cos∠GAB=

cos∠GAC=

在三角形中，∠GAB，∠GAC∈0,π

因为AB=AC，所以

所以∠GAB=∠GAC，

由AG?ABAB

在三角形中，∠GAB∈0,π，所以∠GAB=π6，

（2）由（1）知AB=AC，∠BAC=π

因为A?1,0，B2,3

所以AB=3,3，AC

则x+12+y

所以，点C的坐标为?1,23

（3）设BC的中点为D，则AD=12AB+AC，

又因为AG=13AB+

所以∠AGB=∠BGC=∠CGA=2π3，GA=

由图形的对称性，不妨设GC与GP的夹角为θ，则θ∈0,

如图所示，

PA?

=2×2×cos

由图可知，GB与GP，GA与GP的夹角分别为2π3+θ，

所以PB?PC，PC?PA的值分别为

当θ∈0,π3

所以minPA?BP

所以minPA?BP