2024年高考数学命题热点全覆盖专题08含参数的导数问题解题规律理.docVIP

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专题08含参数的导数问题解题规律

一．学问点

基本初等函数的导数公式

(1)常用函数的导数

①(C)′＝________(C为常数);②(x)′＝________；

③(x2)′＝________；④eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝________；

⑤(eq\r(x))′＝________．

(2)初等函数的导数公式

①(xn)′＝________；②(sinx)′＝__________；

③(cosx)′＝________；④(ex)′＝________；

⑤(ax)′＝___________；⑥(lnx)′＝________；

⑦(logax)′＝__________．

5．导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝________________________；

(2)[f(x)·g(x)]′＝_________________________；

(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝____________________________．

6．复合函数的导数

(1)对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，假如通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这两个函数(函数y＝f(u)和u＝g(x))的复合函数为y＝f(g(x))．

（解法二）由得

设，则，由于单调递减且，所以时单调递增，时单调递减

方程在上有且只有一个解等价于。故．

点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

（二）构造函数

例2．已知函数.

（1）探讨的单调性；

（2）当,为两个不相等的正数，证明：.

【答案】（1）时，在区间内为增函数；时，在区间内为增函数；在区间内为减函数；（2）见解析.

【解析】(1)求出，分两种种状况探讨的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）设，原不等式等价于，令，则原不等式也等价于即.设，利用导数可得在区间内为增函数，，从而可得结论.

（2）当时，.不妨设，则原不等式等价于，

令，则原不等式也等价于即..

下面证明当时，恒成立.

设，则，

故在区间内为增函数，，即，

所以.

【点睛】本题主要考查利用导数探讨函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简洁的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数探讨函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要视察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.

练习1.已知函数.

（1）证明:有两个零点；

（2）已知，若,使得，试比较与的大小.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】(1)在上单调递减，在上单调递增，依据函数的最值状况确定零点个数；(2)由，，可得：，令，函数在上单调递增，，∴，

又∵在上是增函数，∴，即.

（1）据题知，求导得：

令，有；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，

∴

令，有；令，有

故在和各有1个零点.∴有两个零点.

（2）由，而

∴

令，

则，

∴函数在上单调递增，故.

∴，

又∵在上是增函数，∴，即.

（三）极值点偏移

例3．已知函数(其中e是自然对数的底数，k∈R)．

(1)探讨函数的单调性；

(2)当函数有两个零点时，证明：．

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】本题考查导数与函数单调性的关系以及用导数证明不等式的问题。（1）求导数后，依据导函数的符号推断出函数的单调性。（2）依据题意将证明的问题转化为证明，即证，构造函数，

利用函数的单调性证明即可。

试题解析：

（1）解：∵

∴。

①当时，令，解得，

∴当时，，单调递减；

当时，，单调递增。

②当时，恒成立，

∴函数在R上单调递增.

综上，当时，在上单调递减，在上单调递增。

当时，在R上单调递增.

（2）证明：当时，由（1）知函数单调递增，不存在两个零点。

所以。

设函数的两个零点为，

则，

设，

解得，

所以，

要证，

只需证，

设

设单调递增，

所以，

所以在区间上单调递增，

所以，

故．

练习1.已知函数.

（1）探讨的单调性；

（2）已知存在两个极值点，，令，若，，求的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】（1）对函数进行求导，探讨导数的正负，求得单调区