《非数与数值微积分》课件.pptVIP

非数与数值微积分本课程介绍了非数和数值微积分的概念和应用。非数是指不属于实数或复数的数字，例如无限大、无穷小、无穷小数等。数值微积分是指使用计算机来解决微积分问题的方法。

课程简介核心内容本课程深入探讨实数理论，涵盖微积分核心概念和数值计算方法，并结合实际问题进行分析。授课目标帮助学生掌握实数系统与微积分的基本原理，并培养数值计算能力，为后续学习奠定坚实基础。教学方法采用课堂讲授、习题练习、课后讨论等方式，辅以课件和电子教材，引导学生深入思考和理解。

课程大纲1数与非数介绍数的概念，区分实数和非数，并探讨无理数和实数的性质。2函数与极限探讨函数的概念和分类，介绍极限的定义和性质，并分析函数的连续性和间断点。3微积分讲解导数的概念和运算法则，介绍微分的概念及应用，并分析微分中值定理和导数的应用。4数值方法介绍定积分概念及性质，讲解牛顿-莱布尼茨公式和定积分的应用，并探讨数值微积分方法，包括收敛速度、误差分析和数值微分与数值积分。

数与非数的区别数数是用来表示数量、大小、顺序等概念的抽象符号。数可以是整数、小数、分数、负数等，并可以进行加减乘除等运算。非数非数是指不能进行加减乘除等运算的符号或概念。非数包括字母、符号、文字等，它们不能直接参与数学运算。

无理数与实数无理数无理数不能表示成两个整数的比值。它们在数轴上稠密分布，例如圆周率π和自然对数的底数e。实数实数包括所有有理数和无理数，形成一个连续的数集。实数可以用数轴上的点来表示。实数的完备性实数集是完备的，即所有收敛数列的极限都存在于实数集中。这保证了实数集的连续性和无缝性。

实数的性质完备性实数集是完备的，这意味着实数轴上没有“空隙”，任何收敛的实数序列都将在实数轴上找到一个极限。稠密性实数集是稠密的，这意味着在任何两个不同的实数之间，总存在另一个实数。可加性实数集在加法运算下构成一个群，具有封闭性、结合律、单位元和逆元。可乘性实数集在乘法运算下构成一个半群，具有封闭性、结合律和单位元。

数轴与坐标系数轴是一条直线，用来表示所有实数。坐标系是一个由两条相互垂直的数轴构成的平面，用来表示平面上的点。数轴上的点对应唯一的实数，实数对应唯一的点。坐标系上的点对应唯一的坐标，坐标对应唯一的点。

函数概念及其分类函数是描述两个变量之间关系的数学模型。输入值对应唯一输出值，体现了变量之间的映射关系。函数可以用图像、表格和公式表示。图像直观展示函数的性质，表格方便数据查询，公式便于计算。函数根据定义域、值域和表达式分类。主要分类包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

基本初等函数指数函数指数函数是数学中重要的函数之一，可以用来描述事物随时间指数增长或衰减的规律。对数函数对数函数是指数函数的反函数，可以用来将指数形式的运算转化为加减运算。幂函数幂函数是将自变量乘以自身n次方，其中n可以是任何实数，可以用来描述事物随时间幂次增长或衰减的规律。三角函数三角函数是用来描述直角三角形中角度和边长的关系的函数，在物理学、工程学等领域有广泛应用。

极限的定义1极限概念极限是指函数或数列在自变量无限接近某个值或趋于无穷大时所趋近的值。它是微积分的基础概念，也是理解微积分的重要工具。2极限的定义对于函数f(x)，当自变量x无限接近a（但并不等于a）时，函数值f(x)无限接近某个常数A，则称A为函数f(x)当x趋于a时的极限。3极限的表示极限用数学符号表示为limx→af(x)=A，表示函数f(x)当x趋于a时的极限为A。

极限的性质极限唯一性一个函数的极限，如果存在，则唯一。极限的运算性质极限可以进行加、减、乘、除等运算。极限与无穷小的关系无穷小是极限为零的量。夹逼定理如果两个函数的极限相等，并且另一个函数夹在这两个函数之间，那么这个函数的极限也等于这两个函数的极限。

函数的连续性定义函数在某点连续意味着函数图像在该点没有间断。函数在某点的极限等于该点的函数值，这是函数连续的必要条件。在实际应用中，函数的连续性非常重要，它保证了函数在某个范围内不会出现突变，例如，物理量随时间变化的函数通常是连续的。性质连续函数具有许多重要的性质，例如，连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值，连续函数在闭区间上可以积分，连续函数的图像可以被分成有限个单调区间等等。

函数的间断点1第一类间断点可去间断点和跳跃间断点，函数值存在跳跃或空缺，但左右极限存在。2第二类间断点无穷间断点和振荡间断点，函数值趋于无穷大或振荡，左右极限不存在或为无穷。3间断点分类根据函数值和极限的性质，将间断点分为第一类和第二类，它们分别代表不同的间断性质。

导数的概念11.变化率导数代表函数在某一点的瞬时变化率，反映了函数值随自变量的变化趋势。22.切线斜率导数也表示函数图像在某点处的切线斜率，反映了函数曲线在该点的方向。33