2025版一轮高中总复习数学 (通用版)必刷题库 空间向量与立体几何.docx

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必刷大题16空间向量与立体几何

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点.

（1）证明：B1D⊥平面ABD；

（2）证明：平面EGF∥平面ABD.

证明：（1）以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则B（0，0，0），D（0，2，2），B1（0，0，4），

设BA＝a，则A（a，0，0），

所以BA＝（a，0，0），BD＝（0，2，2），B1D＝（0，2，－

B1D·BA＝0，B1D·BD＝0＋4－

即B1D⊥BA，B1D⊥BD，又BA∩BD＝B，

因此B1D⊥平面ABD.

（2）由（1）知，E（0，0，3），G（a2，1，4），F（0，1，4

则EG＝（a2，1，1），EF＝（0，1，1

B1D·EG＝0＋2－2＝0，B1D·EF＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1

又EG∩EF＝E，因此B1D⊥平面EGF.

结合（1）可知平面EGF∥平面ABD.

2.如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.

（1）求证：AP⊥BC；

（2）若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.

证明：（1）以O为原点，过点O作CB的平行线为x轴，以AD方向为y轴正方向，以OP的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示；

则O（0，0，0），A（0，－3，0），

B（4，2，0），C（－4，2，0），P（0，0，4），

故AP＝（0，3，4），BC＝（－8，0，0），

∴AP·BC＝0×（－8）＋3×0＋4×0＝0，

∴AP⊥BC，即AP⊥BC.

（2）∵PO⊥平面ABC，AO?平面ABC，∴PO⊥AO，

∵PO＝4，AO＝3，故AP＝5，∵M为AP上一点，且AM＝3，

∴M（0，－65，125），∴AM＝（0，95，125），BM＝（－4，－165，125），CM＝（4

设平面BMC的法向量为n＝（a，b，c），

则n·BM=0，n·CM

则n＝（0，1，43

设平面AMC的法向量为m＝（x，y，z），则m·AM=0，m·CM=0

则m＝（5，4，－3）.

由n·m＝0×5＋1×4＋43×（－3）＝0

得n⊥m，即平面AMC⊥平面BMC.

3.如图，在图①的等腰直角三角形ABC中，AB＝CB＝3，边AB，AC上的点E，F满足AEAB＝AFAC＝23，将△AEF沿EF翻折至△PEF处，得到图②中的四棱锥P-EFCB，且二面角P-EF-

（1）证明：平面PBC⊥平面EFCB；

（2）求直线BE与平面PFC所成角的正弦值.

解：（1）证明：因为AEAB＝AFAC＝23，所以EF

因为等腰直角三角形ABC中，AB⊥BC，所以EF⊥AB，

在四棱锥P-EFCB中，EF⊥EB，EF⊥EP.

所以∠PEB为二面角P-EF-B的平面角，即∠PEB＝60°.

又PE＝2，BE＝1，所以PB

＝PE2＋

满足PE2＝BE2＋PB2.

即BE⊥PB，又BE⊥BC，且PB∩BC＝B，PB，BC?平面PBC，

所以BE⊥平面PBC.

又BE?平面EFCB，所以平面PBC⊥平面EFCB.

（2）由EF⊥EB，EF⊥EP，且EB∩EP＝E，EB，EP?平面PBE，

故EF⊥平面PBE，则有EF⊥PB.

又EF∥BC，所以BC⊥PB，即PB，EB，CB两两垂直.以B为坐标原点，BC，BE，BP的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

则有：B（0，0，0），E（0，1，0），C（3，0，0），P（0，0，3），F（2，1，0）.BE＝（0，1，0）.

设平面PFC的法向量n＝（x，y，z），PC＝（3，0，－3），FC＝（1，－1，0）.

n·PC=3x－3z=0，n·FC＝x－y

设所求角的大小为θ，则sinθ＝｜cos＜BE，n＞｜＝｜BE·n｜｜

所以直线BE与平面PFC所成角的正弦值为55

4.如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径AB＝4，母线PH＝22，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形.

（1）设平面POH∩平面PBC＝l，证明：l∥BC；

（2）设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成角最大时，求MN的长.

解：（1）证明：∵四边形OBCH为正方形，∴BC∥OH，

∵BC?平面POH，OH?平面POH，

∴BC∥平面POH.

∵BC?平面PBC，平面POH∩平面PBC＝l，∴l∥BC.

（2）∵圆锥的母线长为22，AB＝4，∴OB＝2，OP＝2，

以O为原点，OH，O